Thể tích với Phương pháp Đĩa: Quay quanh Trục x hoặc y
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| disc/dɪsk/ | đĩa tròn |
| disc method/dɪsk ˈmeθəd/ | phương pháp đĩa tròn |
Quay vùng dữ liệu thành khối
- Lấy một vùng, quay nó quanh một trục, nó sẽ quét ra một khối tròn xoay.
- Lát cắt vuông góc với trục và mỗi lát cắt là một chiếc đĩa mỏng (giống đồng xu).
- Cộng thể tích các đĩa lại: phương pháp đĩa.
- Đây chính là công thức tiết diện với các lát cắt hình tròn.
Mỗi lát cắt trong phương pháp đĩa là một...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Quay tạo ra các đĩa hình tròn.
Công thức đĩa
- Mỗi đĩa là một hình tròn có bán kính $R$ và độ dày $dx$, nên thể tích của nó là $\pi R^2\,dx$.
- Nếu vùng giữa $y=R(x)$ và trục được quay quanh trục $x$:
-
$$V=\pi\int_a^b \big[R(x)\big]^2\,dx$$
- Bán kính $R(x)$ là khoảng cách từ đường cong đến trục quay — ở đây chỉ đơn giản là $f(x)$.
Hồ sơ quay thành các đĩa
y = a·√x
Quay $y=\sqrt x$ quanh trục $x$ xếp chồng các đĩa có bán kính $\sqrt x$ — thể tích $\pi\int R^2\,dx$.
Quay $y=R(x)$ quanh trục $x$, thể tích là...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Mỗi đĩa là $\pi R^2\,dx$.
Quay quanh trục tung
- Quay quanh trục $y$ thay vì? Hãy cắt ngang và viết bán kính theo $y$.
-
$$V=\pi\int_c^d \big[R(y)\big]^2\,dy$$
- Lúc này $R(y)$ là khoảng cách ngang từ đường cong $x=g(y)$ đến trục $y$.
- Công thức giống nhau, nhưng lấy tích phân theo $y$, với bán kính đo theo chiều ngang.
Trong phương pháp đĩa, bán kính $R$ là ____ từ đường cong đến trục quay.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Bán kính = khoảng cách đến trục.
Quay quanh trục $y$, bạn tích phân theo $y$ sử dụng...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Gắn biến với trục: trục $y$ → $R(y)$, tích phân theo $y$.
Bán kính là một khoảng cách
- Kỹ năng quan trọng: xác định đúng $R$ là khoảng cách từ đường cong đến trục.
- Quay quanh trục $x$, đường cong $y=f(x)$ cho bán kính $R=f(x)$ (chiều cao của nó).
- Quay quanh trục $y$, đường cong $x=g(y)$ cho bán kính $R=g(y)$.
- Bình phương bán kính, nhân với $\pi$, và lấy tích phân dọc theo trục.
Quay $y=\sqrt x$ trên $[0,4]$ quanh trục $x$ ($R^2=x$) tạo ra $V=$
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\cdot8=8\pi$.
Phương pháp đĩa bao gồm hệ số $\pi$ và bình phương bán kính.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$V=\pi\int R^2$.
Đừng quên $\pi$ và việc bình phương — phương pháp đĩa là $\pi\int R^2$, không phải $\int R$. Và hãy chọn biến lấy tích phân khớp với trục: quay quanh trục $x$ → lấy tích phân theo $x$ với $R(x)$; quay quanh trục $y$ → lấy tích phân theo $y$ với $R(y)$. Việc trộn lẫn chúng là một lỗi phổ biến.
Quay vùng dưới $y=\sqrt x$ trên $[0,4]$ quanh trục $x$.
- Bán kính $R(x)=\sqrt x$, nên $R^2=x$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8\pi$.
- Mỗi đĩa là một hình tròn có bán kính $\sqrt x$ xếp chồng lên nhau dọc theo trục $x$.
Phương pháp đĩa quay một vùng quanh trục thành các lát cắt hình tròn: $V=\pi\int_a^b[R(x)]^2\,dx$ quanh trục $x$, hoặc $\pi\int_c^d[R(y)]^2\,dy$ quanh trục $y$. Bán kính $R$ là khoảng cách từ đường cong đến trục. Tuyệt đối không bỏ qua $\pi$ hay bình phương.