Thể tích với Tiết Diện: Tam giác và Nửa hình tròn
Đã giới thiệuSame idea, different slice shapes
- The volume recipe $V=\int_a^b A(x)\,dx$ works for any cross-section shape — you just need $A(x)$.
- Beyond squares, the AP loves triangular and semicircular cross sections.
- The only new step is the right area formula for that shape, written in terms of the base.
- Get $A(x)$ from geometry, then integrate as before.
Triangular cross sections
- For an equilateral triangle of side $s$: area $=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$.
- For a right isosceles triangle with legs $s$: area $=\dfrac12 s^2$; a general triangle: $\tfrac12\,\text{base}\times\text{height}$.
- Use the base length $s(x)$ (the gap the slice spans) in the correct triangle-area formula.
- $A(x)=(\text{shape constant})\cdot s(x)^2$, then integrate.
Semicircular cross sections on the same base: only the area formula A(x) changes
Đáy mà các lát cắt thay đổi
y = a·√x
Cùng một vùng đáy sẽ cho thể tích khác nhau tùy theo hình dạng lát cắt — chỉ có hằng số diện tích nhân với $s(x)^2$ thay đổi.
Diện tích tam giác đều có cạnh $s$ là...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Tam giác đều: $\frac{\sqrt3}{4}s^2$.
Nối mỗi hình dạng tiết diện với hằng số diện tích tương ứng (nhân với $s^2$).
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Mỗi diện tích bằng hằng số của nó nhân với bình phương của đáy.
Semicircular cross sections
- A semicircle with diameter $s$ has radius $\dfrac{s}{2}$, so its area is $\dfrac12\pi\Big(\dfrac{s}{2}\Big)^2=\dfrac{\pi}{8}s^2$.
- The base of the slice is the diameter, so halve it to get the radius before squaring.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}\big(s(x)\big)^2$.
- Watch that factor: diameter $\to$ radius is a divide-by-two that's easy to skip.
Tiết diện nửa hình tròn có đường kính nằm trên đáy $s(x)$. Bán kính của nó là...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Đáy là đường kính, nên bán kính bằng một nửa.
Đối với nửa hình tròn có đường kính là đáy $s$, bạn phải chia đôi $s$ để lấy bán kính trước khi bình phương.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Bán kính $=s/2$; việc quên điều này là một lỗi phổ biến.
It's always "area in terms of the base"
- Every one of these is $A(x)=(\text{constant depending on shape})\times s(x)^2$.
- Square $\to 1$; equilateral triangle $\to \tfrac{\sqrt3}{4}$; semicircle $\to \tfrac{\pi}{8}$; right isosceles $\to \tfrac12$.
- Find the base $s(x)$ from the region, plug into the shape's area, and integrate.
- The calculus is identical; only the leading constant changes.
Đáy dưới $y=\sqrt x$ trên $[0,4]$, lát cắt nửa hình tròn: $A(x)=\tfrac{\pi}{8}x$. Sau đó $V=$
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$\tfrac{\pi}{8}\int_0^4 x\,dx=\tfrac{\pi}{8}\cdot8=\pi$.
Mọi thể tích tiết diện đều là $\int_a^b A(x)\,dx$, trong đó $A(x)$ = (hằng số hình dạng) $\times s(x)$ ____.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Diện tích tỷ lệ với bình phương của đáy.
For a semicircle, the slice's base is the diameter, so the radius is $\frac{s}{2}$ — don't square the whole base as if it were the radius. And match the triangle formula to the type stated (equilateral vs. right isosceles); they have different constants. The base $s(x)$ is still the gap the slice spans.
Base is the region under $y=\sqrt x$ on $[0,4]$; cross sections are semicircles with diameter on the base.
- Diameter $s(x)=\sqrt x$, so radius $=\dfrac{\sqrt x}{2}$.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}(\sqrt x)^2=\dfrac{\pi}{8}x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 \dfrac{\pi}{8}x\,dx=\dfrac{\pi}{8}\cdot 8 = \pi$.
For triangular or semicircular cross sections, use $V=\int_a^b A(x)\,dx$ with the shape's area: equilateral triangle $\frac{\sqrt3}{4}s^2$, right isosceles $\frac12 s^2$, semicircle $\frac{\pi}{8}s^2$ (base $=$ diameter, so radius $=\frac s2$). Find the base $s(x)$ and integrate.