Tìm Diện tích Giữa Các Đường cong Giao nhau tại Hơn Hai Điểm
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| subintervals/ˌsʌbɪnˈtɜːvlz/ | đoạn con |
When the curves keep crossing
- Sometimes two curves cross more than twice, and the "top" curve swaps along the way.
- A single top-minus-bottom integral would then get the sign wrong on part of the region.
- The fix: split the region at each crossing and integrate each piece separately.
- Add the pieces' (positive) areas to get the total.
Find every intersection first
- Solve $f(x)=g(x)$ completely — find all the crossing points on the interval, not just the outer two.
- These crossings are the boundaries of the subintervals 子区间 where the ordering is fixed.
- Order them left to right along the $x$-axis.
- Each adjacent pair of crossings frames one piece of the region.
When curves cross more than twice, split at each crossing so every piece is top minus bottom
Một đa thức bậc ba cắt một đường thẳng 3 lần
y = ax³ + bx
$y=x^3$ và $y=x$ cắt nhau tại $-1,0,1$; đường cong phía trên thay đổi tại $0$, nên diện tích cần được tính theo hai phần.
$y=x^3$ và $y=x$ cắt nhau ở đâu?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$x^3=x\Rightarrow x(x-1)(x+1)=0$.
Các điểm giao điểm chia vùng thành ____ nơi thứ tự được cố định.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Trên mỗi khoảng con, một đường cong luôn nằm trên.
Split where top and bottom switch
- On each subinterval, one curve is consistently on top — test a point to see which.
- Set up a separate integral of (upper $-$ lower) for each subinterval, using the correct top curve there.
- Because the top curve switches between pieces, the integrands differ from piece to piece.
- The full area is the sum of these separate integrals.
Bạn chia vùng tại mỗi giao điểm vì...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Tại nơi các đường cong hoán đổi, một phần của vùng sẽ bị đếm là âm.
Sử dụng một tích phân duy nhất của $f-g$ xuyên suốt tất cả các điểm cắt (khi các đường cong hoán vị nhau) sẽ cho kết quả là...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Triệt tiêu dấu làm giảm thiểu diện tích thực tế.
Add the absolute areas
- Each subinterval integral, done with the correct top-minus-bottom, is positive.
- Sum them: $A=\displaystyle\sum \int_{\text{piece}} (\text{upper}-\text{lower})\,dx$.
- Equivalently, $A=\displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$ — the absolute gap, integrated.
- Both viewpoints give the same total geometric area.
Đối với $y=x^3$ và $y=x$ trên $[-1,1]$, mỗi phần có diện tích $\tfrac14$. Hãy tìm tổng diện tích.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
Tích phân $|f(x)-g(x)|$ trên toàn khoảng cho cùng tổng diện tích như việc chia cắt.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Giá trị tuyệt đối xử lý việc chuyển đổi tự động.
Do not use one integral of $f-g$ across all crossings — where the curves swap, part of the region contributes a negative value and cancels real area. You must split at every intersection and take upper-minus-lower correctly on each piece (or integrate $|f-g|$). Find all the crossings, not just the endpoints.
Area between $y=x^3$ and $y=x$ on $[-1,1]$.
- Crossings: $x^3=x\Rightarrow x(x^2-1)=0\Rightarrow x=-1,0,1$ — three points.
- On $(-1,0)$: $x^3>x$ (test $-0.5$). On $(0,1)$: $x>x^3$ (test $0.5$). The top curve switches at $0$.
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,dx=\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
When curves intersect more than twice, find all intersection points, split the region into subintervals, and integrate upper minus lower on each (the top curve switches between them). Sum the pieces — equivalently, integrate $|f(x)-g(x)|$. One straight integral of $f-g$ would wrongly cancel area.