Tìm Diện tích Giữa Các Đường cong Được Biểu diễn theo Hàm số của y
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| horizontal slice/ˌhɒrɪˈzɒntl slaɪs/ | mặt cắt ngang |
Cắt ngang thay vì cắt dọc
- Một số vùng có hình dạng khó xử với các lát cắt dọc — ví dụ như một parabol mở ngang.
- Giải pháp: cắt thành các lát cắt ngang và lấy tích phân theo $y$ thay vì $x$.
- Mọi thứ từ bài học trước đều quay 90°: các đường cong trở thành hàm số của $y$, và bạn thực hiện phép trừ phải trừ trái.
- Ý tưởng tương tự nhưng xoay chiều: cộng tổng các độ rộng khoảng cách ngang.
Phải trừ trái
- Viết các biên dạng hàm số của $y$: $x=f(y)$ (phải cùng) và $x=g(y)$ (trái cùng).
-
$$A=\int_c^d \big(f(y)-g(y)\big)\,dy$$
- Mỗi lát cắt ngang có độ rộng $f(y)-g(y)$ và chiều cao $dy$.
- Thực hiện phép trừ phải cùng trừ trái cùng để độ rộng luôn dương.
Một parabol mở ngang
y = ax² + bx + c
Khi các đường cong mở ngang, các lát cắt ngang (phải trừ trái, tích phân theo $y$) là lựa chọn gọn gàng nhất.
Với các lát cắt ngang, diện tích là $\int_c^d(\ ?\ )\,dy$ trong đó...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Dải ngang: đường cong phải trừ đường cong trái.
Biên giới giờ là giá trị $y$
- Các giới hạn $c$ và $d$ là giới hạn dưới và trên $y$ của miền xác định — thường là các giá trị giao điểm $y$-trục của các đường cong.
- Giải phương trình $f(y)=g(y)$ (theo $y$) để tìm các biên này.
- Trong khoảng giữa chúng, kiểm tra xem đường cong nào nằm xa về phía bên phải hơn.
- Sau đó lấy tích phân độ rộng (phải trừ trái) từ $c$ đến $d$.
Đối với nguyên hàm theo $dy$, các cận của nguyên hàm là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tích phân theo $y$ nghĩa là các cận là $y$.
$x=y^2$ và $x=y+2$ giao nhau ở đâu (theo $y$)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$.
Khi nào chọn $dy$ thay vì $dx$
- Ưu tiên cắt ngang khi các đường cong tự nhiên là $x=$(hàm số của $y$), hoặc khi cắt dọc sẽ bắt buộc phải chia nhỏ vùng.
- Một vùng bị giới hạn bởi hai đường cong khác nhau ở trái và phải (nhưng trên/dưới chỉ là các điểm đơn lẻ) là một trường hợp $dy$.
- Nếu đường cong "trên" sẽ thay đổi giữa chừng khi dùng lát cắt dọc, thì lát cắt ngang có thể tránh được việc chia nhỏ.
- Chọn hướng cắt nào làm cho mỗi lát cắt bao phủ một đường cong rõ ràng đến một đường cong rõ ràng.
Diện tích bị giới hạn bởi $x=y^2$ và $x=y+2$ là $\int_{-1}^2 (y+2-y^2)\,dy$. Hãy tính toán (một số thập phân).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Nó có giá trị là $\tfrac92=4.5$.
Đối với nguyên hàm lát cắt ngang, bạn nên viết mỗi biên dạng $x$ theo $y$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Các dải chạy theo chiều ngang, vì vậy hãy biểu diễn $x$ như một hàm của $y$.
Lát cắt ngang ưu tiên hơn khi...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Các đường cong ngang phù hợp với tích phân theo $dy$.
Với các lát cắt ngang, bạn tích phân phải trừ trái theo biến $y$, và các cận là các giá trị $y$ (không phải giá trị $x$). Việc nhầm lẫn chúng — sử dụng cận $x$-values cho tích phân theo $dy$, hoặc trừ trên trừ dưới theo chiều ngang — sẽ cho kết quả sai. Hãy viết lại mỗi đường biên thành $x$ theo biến $y$ trước.
Tìm diện tích bị giới hạn bởi $x=y^2$ và $x=y+2$.
- Giao điểm (theo $y$): $y^2=y+2\Rightarrow y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$.
- Trên $(-1,2)$, đường thẳng $x=y+2$ nằm xa hơn về phía bên phải (kiểm tra $y=0$: $2>0$).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((y+2)-y^2\big)\,dy=\tfrac{9}{2}$.
Đối với các đường cong cho dưới dạng hàm số của $y$, hãy dùng lát cắt ngang: $A=\int_c^d\big(f(y)-g(y)\big)\,dy$, lấy tích phân phải cùng trừ trái cùng với cận $y$ từ các giao điểm. Chọn $dy$ khi nó cho phép mỗi lát cắt chạy trơn tru từ đường cong này sang đường cong kia mà không cần chia nhỏ.