Kết nối Vị trí, Vận tốc và Gia tốc của Hàm số Sử dụng Nguyên hàm
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| position/pəˈzɪʃn/ | vị trí |
| Displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | tả dịch |
Motion, now run through integrals
- Unit 4 went position → velocity → acceleration by differentiating. Integration goes backward.
- Integrate acceleration to recover velocity; integrate velocity to recover position 位置.
- Each step adds up a rate to get the quantity it changes.
- So integrals rebuild the motion story from the rates.
Để tìm lại vị trí từ vận tốc bạn...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Vị trí $=$ ban đầu $+\int v\,dt$.
Going up the chain
- Velocity from acceleration: $v(t)=v(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} a(s)\,ds$.
- Position from velocity: $s(t)=s(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} v(s)\,ds$.
- Each needs an initial value (the constant of integration in disguise).
- Integrate the rate, then add where you started.
Teacher-created velocity model: signed areas distinguish displacement 位移 and distance.
Khôi phục vị trí từ vận tốc đòi hỏi một giá trị ____ để xác định hằng số.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Vị trí $=$ vị trí ban đầu $+\int v\,dt$.
Displacement vs. distance
- Displacement over $[a,b]$ is the signed integral of velocity: $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$ — net change in position.
- Total distance is the integral of speed $|v|$: $\displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt$ — it never subtracts.
- If the object turns around, displacement and distance differ.
- Displacement can be zero after real motion; distance cannot (unless it never moved).
Diện tích có dấu dưới vận tốc
y = t − 2 (vận tốc)
Diện tích có dấu dưới $v(t)$ là độ dịch chuyển; lấy giá trị tuyệt đối trên từng phần (chia tại $v=0$) sẽ cho khoảng cách.
Đối với $v(t)=t-2$ trên $[0,3]$, tìm độ dịch chuyển $\int_0^3 (t-2)\,dt$.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$\tfrac92-6=-\tfrac32$.
Độ dịch chuyển có thể bằng không ngay cả khi vật thực sự đã di chuyển.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Đi qua lại tạo ra độ dịch chuyển ròng bằng không nhưng quãng đường dương.
Distance means splitting at the turns
- To get total distance, find where $v=0$ (the turning points) and integrate $|v|$ piece by piece.
- On each piece $v$ keeps one sign, so $|v|$ is just $\pm v$ there.
- Add the absolute areas of the pieces — no cancellation.
- This "split at $v=0$" step is exactly what makes distance $\neq$ displacement.
Đối với $v(t)=t-2$ trên $[0,3]$, tổng quãng đường là $\int_0^3 |t-2|\,dt$. Hãy tính toán.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Chia tại $t=2$: $2+\tfrac12=\tfrac52$.
Tổng quãng đường di chuyển trong khoảng thời gian $[a,b]$ là...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Tích phân tốc độ $|v|$; việc chia cắt tại các điểm quay trở là bắt buộc.
Displacement ($\int v\,dt$) is signed and can be zero even after moving; total distance ($\int|v|\,dt$) is never negative. To get distance, split the interval where $v=0$ and add the absolute values — do not just integrate $v$ and take its absolute value at the end. And recovering position/velocity needs the initial value.
A particle has $v(t)=t-2$ (m/s) on $[0,3]$. Find displacement and total distance.
- Displacement: $\displaystyle\int_0^3 (t-2)\,dt=\Big[\tfrac{t^2}{2}-2t\Big]_0^3=\tfrac92-6=-\tfrac32$ m.
- $v=0$ at $t=2$: negative on $[0,2)$, positive on $(2,3]$.
- Distance: $\displaystyle\int_0^2 |t-2|\,dt+\int_2^3|t-2|\,dt = 2 + \tfrac12 = \tfrac52$ m.
Integrals rebuild motion: velocity $=$ initial $+\int a\,dt$, position $=$ initial $+\int v\,dt$. Displacement over $[a,b]$ is the signed $\int_a^b v\,dt$; total distance is $\int_a^b|v|\,dt$ — split at the turning points ($v=0$) and add absolute values.