Kiểm Tra Nghiệm Cho Phương Trình Vi Phân
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| solution/səˈluːʃn/ | nghiệm |
Is this function actually a solution?
- Before solving a differential equation, you should be able to check a proposed answer.
- A solution 解 of a differential equation is a function that makes the equation true.
- The test is purely mechanical: differentiate the candidate and substitute.
- If both sides match for all $x$, it's a solution; if not, it isn't.
The verification recipe
- 1. Take the candidate function and compute its derivative(s).
- 2. Substitute the function and its derivatives into the differential equation.
- 3. Simplify both sides and check that they are equal (as identities in $x$).
- No integration needed — verifying is just differentiating and plugging in.
The constant gives a family of curves; an initial condition picks out one
Để kiểm chứng một nghiệm dự đoán, bạn...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Lấy đạo hàm nghiệm dự đoán, thay vào, kiểm tra cả hai vế khớp nhau.
A worked check
- Does $y=e^{3x}$ solve $\dfrac{dy}{dx}=3y$?
- Differentiate: $\dfrac{dy}{dx}=3e^{3x}$.
- Substitute into the right side: $3y=3e^{3x}$.
- Left $=$ right ($3e^{3x}=3e^{3x}$), so yes, $y=e^{3x}$ is a solution. ✓
Nghiệm của dy/dx = ky
Mỗi đường gấp khúc $y=Ce^{kx}$ xuyên qua trường độ dốc — kiểm chứng một nghiệm chỉ xác nhận đạo hàm của nó khớp với $ky$.
$y=e^{3x}$ là nghiệm của $\dfrac{dy}{dx}=3y$.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$\frac{dy}{dx}=3e^{3x}=3y$. ✓
Cả hai vế phải bằng nhau cho ____ giá trị của $x$, không chỉ một, để xác nhận nghiệm.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Một nghiệm thỏa mãn phương trình đồng nhất.
General vs. particular solutions
- $y=Ce^{3x}$ (with any constant $C$) also solves $\dfrac{dy}{dx}=3y$ — the whole family is the general solution.
- Pick a specific $C$ and you get a particular solution.
- Verifying works the same for either: differentiate and check the equation holds.
- The constant carries through the differentiation, so the check still balances.
Kiểm chứng một nghiệm đã cho đòi hỏi phải tích phân phương trình vi phân.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Kiểm chứng là lấy đạo hàm và thay vào; không cần tích phân.
Với những hằng số $C$ nào thì $y=Ce^{3x}$ giải $\dfrac{dy}{dx}=3y$?
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$\frac{dy}{dx}=3Ce^{3x}=3y$ cho mọi $C$ — nghiệm tổng quát.
$y=x^2+C$ có phải là nghiệm của $\dfrac{dy}{dx}=2x$ không?
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$\frac{dy}{dx}=2x$ bất kể $C$.
Verifying is not solving — you're only checking a given candidate, so no integration is involved. Substitute the function and its derivative into the equation and confirm both sides are identical for all $x$, not just at one point. A match at a single $x$ isn't enough.
Verify that $y=x^2+C$ solves $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- Differentiate: $\dfrac{dy}{dx}=2x$ (the $+C$ vanishes).
- The differential equation says $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- Both sides equal $2x$, so $y=x^2+C$ is a solution for every constant $C$. ✓
To verify a solution of a differential equation, differentiate the candidate and substitute it (with its derivatives) into the equation; it's a solution iff both sides are equal for all $x$. No integration required — verifying is differentiate-and-check. A family with a constant $C$ is the general solution.