Mô Hình Hóa Các Tình Huống Bằng Phương Trình Vi Phân
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | phương trình vi phân |
Equations that describe change itself
- Many real laws describe not a quantity, but how fast it changes.
- A differential equation 微分方程 relates a function to its derivatives.
- "Population grows at a rate proportional to its size" becomes $\dfrac{dP}{dt}=kP$.
- Solving it recovers the function; this unit is about writing and solving such equations.
Trường độ dốc của phương trình tốc độ
Phương trình $\tfrac{dy}{dt}=ky$ nói rằng tốc độ tỷ lệ thuận với $y$ — trường độ dốc của nó thể hiện sự tăng trưởng mà nó mô hình hóa.
Một phương trình vi phân liên hệ giữa một hàm số với các...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Nó bao gồm hàm số và đạo hàm (hoặc các đạo hàm) của nó.
Translating words into a rate equation
- The phrase "the rate of change of $y$" is $\dfrac{dy}{dt}$ — the left side of your equation.
- "proportional to $y$" → $ky$; "proportional to the difference from $M$" → $k(M-y)$.
- Match the English description of the rate to an expression in $y$ (and maybe $t$).
- The whole model is: (rate of change) = (that expression).
A cooling cup of coffee: Newton's law of cooling is a classic differential equation model
"Tốc độ thay đổi của $y$ tỷ lệ thuận với $y$" trở thành...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Tốc độ thay đổi $\frac{dy}{dt}$ = $k$ nhân với $y$.
Nước chảy ra với tốc độ tỷ lệ thuận với lượng nước $W$. Mô hình là...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Chảy ra nghĩa là giảm → tốc độ âm: $-kW$.
Common modeling phrases
- Proportional to the amount: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — exponential growth/decay.
- Proportional to the amount present and remaining: $\dfrac{dy}{dt}=ky(M-y)$ — logistic-type.
- Constant rate: $\dfrac{dy}{dt}=c$.
- Reading the phrase tells you the right-hand side.
Khớp mỗi cụm từ với biểu thức tốc độ của nó.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Đọc cụm từ để xây dựng vế phải.
A differential equation has a family of solutions
- Unlike an algebraic equation (one unknown number), a differential equation has an unknown function.
- Its solution is usually a family of functions (with a constant), not a single answer.
- A specific member is pinned down later by an initial condition (lesson 7.7).
- For now, the goal is just to write the equation from the situation.
$y=kt$ (không có đạo hàm) là một phương trình vi phân.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Một phương trình vi phân phải chứa đạo hàm.
Nghiệm của phương trình vi phân thường là một ____ các hàm, chứ không phải một hàm đơn lẻ.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Một hằng số vẫn còn cho đến khi điều kiện ban đầu cố định nó.
A differential equation involves a derivative — it's a statement about a rate, not the quantity itself. "$y$ is proportional to $t$" ($y=kt$) is not a differential equation; "the rate of change of $y$ is proportional to $y$" ($\frac{dy}{dt}=ky$) is. Look for the "rate of change" language.
"A tank's water drains at a rate proportional to the amount of water $W$." Write the model.
- Rate of change of $W$: $\dfrac{dW}{dt}$.
- Proportional to $W$, and draining (decreasing) → $\dfrac{dW}{dt}=-kW$ (with $k>0$).
- The negative sign encodes that the water is decreasing.
A differential equation relates a function to its derivatives — it models a rate of change. Translate the words: "rate of change of $y$" is $\frac{dy}{dt}$, "proportional to $y$" is $ky$, and so on. Its solution is a family of functions, pinned down later by an initial condition.