Chọn Các Kỹ Thuật Cho Nguyên Hàm
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| antidifferentiation/ˌæntɪˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | tích phân ngược |
Which antiderivative tool fits?
- You now have several ways to integrate — the skill is choosing the right technique fast.
- Antidifferentiation 求原函数 has no single algorithm, so you read the integrand's structure.
- A quick triage points you to a basic rule, a substitution, or an algebraic rewrite.
- This lesson is the decision guide that ties the integration methods together.
Đọc hàm dưới dấu tích phân, chọn phương pháp
y = ax³ + bx
Việc hàm dưới dấu tích phân là lũy thừa thuần túy, hàm hợp hay phân số bất chính quyết định công cụ nguyên hàm nào được sử dụng.
First: does a basic rule fit directly?
- Is the integrand a power, or one of the standard forms ($\sin, \cos, e^x, \tfrac1x$)?
- If so, apply the basic rule and add $+C$ — no tricks needed.
- $\displaystyle\int (x^3+\cos x)\,dx$ is just term-by-term basic antiderivatives.
- Always try this first; it's the fastest path.
Phương pháp nhanh nhất cho $\int (3x^2+e^x)\,dx$ là gì?
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Cả hai hạng tử đều là nguyên hàm chuẩn → quy tắc cơ bản.
Next: is there an inner function with its derivative?
- Spot a composite with its inner derivative present → u-substitution.
- $\displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,dx$: inner $u=x^2$, and $2x\,dx=du$ is right there.
- If $du$ is off by a constant, adjust; if the inner derivative is truly absent, u-sub won't help.
- This handles the large class of chain-rule-shaped integrals.
Tích phân nào làm tốt nhất bằng đặt ẩn phụ u?
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Hàm hợp với đạo hàm bên trong ($u=x^2+1$, $du=2x\,dx$) → đặt ẩn phụ u.
Chọn tất cả tín hiệu phương pháp đúng.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Đặt ẩn phụ u không phải lúc nào cũng áp dụng — hãy khớp phương pháp với cấu trúc.
Otherwise: rewrite the algebra first
- No basic rule and no clean substitution? Rewrite the integrand.
- Improper rational fraction → long division; irreducible quadratic denominator → complete the square.
- Expand a product, split a fraction into separate terms, or simplify — then re-triage.
- After the rewrite, a basic rule or u-sub usually finishes it.
Bước đầu tiên cho $\int\dfrac{x^2}{x-1}\,dx$ là...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Bậc tử số ≥ Bậc mẫu số → chia trước.
Bạn có thể kiểm tra bất kỳ nguyên hàm nào bằng cách lấy đạo hàm nó để trả về hàm dưới dấu tích phân.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Lấy đạo hàm câu trả lời của bạn sẽ trả về $f$.
Sắp xếp các kỹ thuật từ đầu đến cuối theo thứ tự thử.
Độ khó 3/5 · 200 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Quy tắc cơ bản, sau đó đặt ẩn phụ u, rồi viết lại.
Don't reach for a heavy technique before checking the easy ones. Try a basic rule first, then u-substitution, and only then an algebraic rewrite. And confirm every antiderivative by differentiating it back to the integrand — that catches most mistakes on the spot.
Choose a method for each, then note the first step:
- $\displaystyle\int (3x^2 + e^x)\,dx$: basic rules → $x^3+e^x+C$.
- $\displaystyle\int x\,\sqrt{x^2+1}\,dx$: u-sub ($u=x^2+1$, $du=2x\,dx$).
- $\displaystyle\int \dfrac{x^2}{x-1}\,dx$: long division first (improper fraction).
Selecting an antidifferentiation technique: try a basic rule first; if the integrand is a composite with its inner derivative, use u-substitution; otherwise rewrite the algebra (long division / completing the square / expanding) and re-triage. Always verify by differentiating your answer.