Tích phân bằng phân tích phân thức tuyến tính
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | phân tích thành phân thức đơn giản |
| linear factor/ˈlɪnɪə ˈfæktə/ | nhân tử bậc nhất |
Break one hard fraction into easy ones
- Some rational functions can't be integrated directly, but split apart they become simple logs.
- Partial fractions 部分分式 rewrites one fraction as a sum of smaller fractions.
- Each piece has a single linear factor 一次因式 in its denominator — easy to integrate as a $\ln$.
- It's the reverse of adding fractions over a common denominator.
Set up the decomposition
- Start with a rational function whose denominator factors into distinct linear factors.
- $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ for constants $A,B$ to be found.
- Each distinct linear factor $(x-r)$ gets its own term $\dfrac{\text{constant}}{x-r}$.
- (The numerator's degree must be less than the denominator's — divide first if not.)
Một hàm hữu tỉ cần tách
y = a / (x − b)
Phân thức trên $(x-1)(x+2)$ có hai tiệm cận đứng; phân tích phân thức tách nó thành hai phân thức đơn giản $\ln$.
Dạng phân tích phân thức của $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$ là...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Một hằng số trên mỗi nhân tử tuyến tính phân biệt.
Nếu bậc tử số không nhỏ hơn bậc mẫu số, bạn phải chia trước.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Phân tích phân thức yêu cầu một phân thức thực.
Bài học này xử lý mẫu số phân tích thành các nhân tử ____ phân biệt.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Các nhân tử tuyến tính phân biệt $(x-r)$.
Solve for the constants
- Multiply both sides by the common denominator to clear fractions.
- Then find $A,B$ by matching coefficients or by plugging in the roots (a fast shortcut).
- For $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$: at $x=1$, $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$; at $x=-2$, $1=B(-3)\Rightarrow B=-\tfrac13$.
- Now the integral is a sum of simple pieces.
Đối với $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$, tìm $A$ (thay $x=1$).
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Tại $x=1$: $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$.
Integrate the pieces
- Each $\dfrac{A}{x-r}$ integrates to $A\ln|x-r|$.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}\,dx=\tfrac13\ln|x-1|-\tfrac13\ln|x+2|+C$.
- So a messy rational integral becomes a combination of logarithms.
- Combine or leave the logs as the answer prefers.
Mỗi phân thức con $\dfrac{A}{x-r}$ tích phân ra...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$\int\tfrac{A}{x-r}\,dx=A\ln|x-r|$.
$\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$ (với $A=1$, $B=-1$) bằng...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Tích phân $\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}$.
Partial fractions needs the numerator degree less than the denominator's — if not, do long division first. And it requires the denominator to actually factor into linear pieces; a repeated factor $(x-r)^2$ or an irreducible quadratic needs extra terms (beyond this lesson's distinct linear case). Each distinct factor gets exactly one constant.
Evaluate $\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$.
- Decompose: $\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+4}$. At $x=1$: $5=5A\Rightarrow A=1$; at $x=-4$: $5=-5B\Rightarrow B=-1$.
- $\displaystyle\int\Big(\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}\Big)\,dx=\ln|x-1|-\ln|x+4|+C$.
Partial fractions splits a rational function with distinct linear factors into a sum $\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}+\cdots$; find the constants (match coefficients or plug in roots), then integrate each piece to a $\ln$. Requires numerator degree $<$ denominator degree — divide first otherwise.