Tổng Riemann, Ký hiệu Tổng hợp và Ký hiệu Tích phân xác định
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| summation notation/sʌˈmeɪʃn nəʊˈteɪʃn/ | ký hiệu tổng |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | tích phân xác định |
| limits of integration/ˈlɪmɪts ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | giới hạn của tích phân |
Viết "cộng tất cả các hình chữ nhật" một cách gọn gàng
- Một tổng Riemann với nhiều hình chữ nhật cần ký hiệu gọn gàng — hãy nhập ký hiệu tổng.
- $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ có nghĩa là "cộng $f(x_i)\,\Delta x$ từ $i=1$ đến $n$."
- Mỗi dải có chiều rộng $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ và chiều cao $f(x_i)$ tại một điểm mẫu.
- $\Sigma$ chỉ đơn giản nói "tính tổng các diện tích hình chữ nhật này."
Đối với $n$ các dải bằng nhau trên $[a,b]$, chiều rộng $\Delta x$ là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Chiều dài khoảng chia cho số lượng các dải.
Ký hiệu $\sum_{i=1}^{n}$ báo cho bạn biết cần...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Sigma nghĩa là tổng theo phạm vi chỉ số.
Để các hình chữ nhật trở nên vô cùng mỏng
- Ước lượng cải thiện khi $n$ tăng và $\Delta x$ thu hẹp. Lấy giới hạn $n\to\infty$.
- Trong giới hạn đó, tổng hình chữ nhật trở thành diện tích chính xác — không còn xấp xỉ nào nữa.
- Giá trị giới hạn đó là tích phân xác định.
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$$
Tích phân chính là diện tích chính xác
y = x²
Khi các hình chữ nhật thu hẹp đến mức không còn, tổng của chúng trở thành diện tích được tô màu chính xác — đó là tích phân xác định.
Tích phân xác định $\int_a^b f\,dx$ là giới hạn của một tổng Riemann khi...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Vô số các hình chữ nhật vô cùng mỏng → diện tích chính xác.
Đọc ký hiệu tích phân
- $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$: $\int$ là chữ "S" kéo dài biểu thị tổng; $a$ và $b$ là giới hạn của tích phân.
- $f(x)$ là hàm dưới dấu tích phân (điều bạn đang tích lũy); $dx$ là chiều rộng vô cùng mỏng.
- Đọc là "tích phân của $f$ của $x$, từ $a$ đến $b$."
- Nó biểu thị diện tích có dấu chính xác giữa đường cong và trục $x$ trên $[a,b]$.
Trong $\int_a^b f(x)\,dx$, hàm số $f(x)$ đang được tích lũy gọi là ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$a,b$ là các cận; $f(x)$ là hàm dưới dấu tích phân.
Vẫn là diện tích có dấu
- Giống như tổng Riemann, tích phân xác định là có dấu.
- Nơi $f>0$ tích phân cộng diện tích; nơi $f<0$ nó trừ đi.
- Vì vậy $\int_a^b f\,dx$ có thể dương, âm, hoặc bằng không.
- $\Delta x$ mang hướng: di chuyển từ $a$ đến $b$ với $a<b$ làm cho các chiều rộng dương.
Tích phân xác định $\int_a^b f\,dx$ cho ra một giá trị số cụ thể.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nó là một giá trị có dấu (signed-area), không phải là hàm số.
Nếu $f(x)<0$ trên toàn bộ $[a,b]$, thì $\int_a^b f\,dx$ là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Diện tích phía dưới trục hoành mang giá trị âm.
Tích phân xác định là một số (diện tích có dấu), không phải hàm số — đừng nhầm lẫn nó với tích phân bất định (họ nguyên hàm, bài 6.8). Và $\int_a^b f\,dx$ là diện tích có dấu: một đường cong chui xuống dưới trục sẽ tạo ra đóng góp âm, do đó tích phân không giống với "tổng diện tích hình học."
Biểu diễn diện tích dưới $f(x)=x^2$ trên $[0,2]$ dưới dạng tích phân xác định.
- Chiều rộng của mỗi trong $n$ dải: $\Delta x=\dfrac{2-0}{n}=\dfrac2n$.
- Tổng Riemann: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$.
- Diện tích chính xác: $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ (bằng $\tfrac83$).
Một tổng Riemann trong ký hiệu tổng hợp là $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ với $\Delta x=\frac{b-a}{n}$. Giới hạn của nó khi $n\to\infty$ là tích phân xác định $\int_a^b f(x)\,dx$ — diện tích có dấu chính xác, với $a,b$ là giới hạn của tích phân và $f(x)$ là hàm dưới dấu tích phân.