Sử dụng Test Ứng viên để Xác định Cực trị Tuyệt đối (Toàn cục)
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| Candidates Test/ˈkændɪdeɪts test/ | Thử nghiệm điểm ứng viên |
Finding the true highest and lowest
- On a closed interval, the EVT promises an absolute max and min exist. Where are they?
- They can only be at a critical point or at an endpoint — a short list of suspects.
- The Candidates Test 候选点判别法 just evaluates $f$ at every suspect and compares.
- No sign charts needed — the biggest output wins, the smallest loses.
The three steps
- 1. Find all critical points in $[a,b]$ (where $f'=0$ or is undefined).
- 2. Evaluate $f$ at each critical point and at both endpoints $a$ and $b$.
- 3. Compare the values: the largest is the absolute maximum, the smallest the absolute minimum.
- Report both the value and its location.
Candidates test: compare f at the critical points and both endpoints
Các đầu mút và các điểm tới hạn
y = ax³ + cx
Cực đại/cực tiểu tuyệt đối trên một khoảng đóng ẩn trong các đầu mút và các điểm tới hạn nội bộ — hãy tính và so sánh.
Để tìm cực trị tuyệt đối trên $[a,b]$, hãy tính $f$ tại những điểm nào?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Các điểm tới hạn cộng với cả hai điểm đầu mút — đó là danh sách đầy đủ các ứng viên.
Don't forget the endpoints
- On a closed interval, the extremes often sit at the endpoints, not a critical point.
- A monotonic function (always increasing) has its max at the right end and min at the left.
- So you must always include $f(a)$ and $f(b)$ in your candidate list.
- Missing an endpoint is the most common way to get the wrong absolute extremum.
Đối với $f(x)=x^3-3x$ trên $[0,2]$, với $f(0)=0$, $f(1)=-2$, $f(2)=2$, giá trị cực đại tuyệt đối là gì?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Giá trị ứng viên lớn nhất là $2$ (tại điểm biên $x=2$).
Cùng hàm và các ứng viên: giá trị cực tiểu tuyệt đối là gì?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Giá trị ứng viên nhỏ nhất là $-2$ (tại $x=1$).
Bạn có thể bỏ qua các điểm đầu mút và vẫn chắc chắn về các cực trị tuyệt đối.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Các cực trị thường nằm ở các điểm đầu mút; bỏ qua chúng có thể dẫn đến câu trả lời sai.
Compare, don't classify
- Unlike the First Derivative Test, the Candidates Test doesn't care what kind each point is.
- It simply asks: of all the candidate outputs, which is biggest and which smallest?
- One evaluation per candidate, then a comparison — clean and reliable on a closed interval.
- (It needs a closed interval; on an open interval an absolute extremum may not exist.)
Thử nghiệm Các ứng viên yêu cầu một khoảng ____ , nơi định lý EVT đảm bảo cực trị tồn tại.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Trên một khoảng mở, một cực trị tuyệt đối có thể không tồn tại.
Cực đại tuyệt đối là ứng viên có giá trị...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
So sánh các đầu ra $f(x)$, không phải các đầu vào.
The Candidates Test requires a closed interval $[a,b]$ and must include the endpoints. Evaluating only the critical points misses extremes that live at $a$ or $b$. And compare $f$-values, not $x$-values — the winner is the largest output, wherever it occurs.
Find the absolute extrema of $f(x)=x^3-3x$ on $[0,2]$.
- Critical points in $[0,2]$: $f'=3(x-1)(x+1)=0$ at $x=1$ (only $x=1$ is in range).
- Evaluate candidates: $f(0)=0$, $f(1)=-2$, $f(2)=2$.
- Absolute max $=2$ at $x=2$ (endpoint); absolute min $=-2$ at $x=1$.
The Candidates Test finds absolute extrema on a closed interval: list the critical points and both endpoints, evaluate $f$ at each, and compare. Largest value = absolute maximum, smallest = absolute minimum. Always include the endpoints, and compare outputs, not inputs.