Sử dụng Test Đạo hàm Bậc Nhất để Xác định Cực trị Tương đối (Cục bộ)
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| First Derivative Test/fɜːst dɪˈrɪvətɪv test/ | Tiêu chuẩn Đạo hàm Bậc nhất |
| relative (local) maximum/ˈrelətɪv ˈmæksɪməm/ | cực đại cục bộ (tương đối) |
| relative (local) minimum/ˈrelətɪv ˈmɪnɪməm/ | cực tiểu cục bộ (tương đối) |
Classify a critical point by how $f'$ turns
- A critical point is a candidate extremum — now we decide which kind it is.
- The First Derivative Test 一阶导数判别法 reads the sign change of $f'$ across the point.
- Uphill-then-downhill makes a peak; downhill-then-uphill makes a valley.
- It reuses your sign chart from the last lesson — no new computation.
Positive → negative means a max
- If $f'$ changes from positive to negative at a critical point $c$, then $f$ has a relative (local) maximum 局部最大值 there.
- The function was climbing, levels off, then falls — the top of a hill.
- Read it straight off the sign chart: a $+$ to the left of $c$, a $-$ to the right.
- The maximum value is $f(c)$; the location is $x=c$.
A graph of f′: f has a local maximum where f′ changes from + to − (x = 0) and a local minimum where it changes from − to + (x = 2)
Cực đại rồi đến cực tiểu
y = ax³ + cx
Gò bên trái là cực đại cục bộ ($f'$ tăng từ $+$ đến $-$) và gò bên phải là cực tiểu cục bộ (giảm từ $-$ đến $+$).
Nếu $f'$ chuyển từ dương sang âm tại $c$, thì $f$ có một...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Lên rồi xuống = đỉnh đồi = cực đại cục bộ.
Negative → positive means a min
- If $f'$ changes from negative to positive at $c$, then $f$ has a relative (local) minimum 局部最小值 there.
- Falling, levels off, then climbing — the bottom of a valley.
- Sign chart: a $-$ left of $c$, a $+$ right of $c$.
- If $f'$ does not change sign at $c$, there is no extremum there (a flat spot).
Nếu $f'$ chuyển từ âm sang dương tại $c$, thì $f$ có một cực ____ cục bộ tại đó.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Xuống rồi lên = đáy thung lũng = cực tiểu cục bộ.
The routine
- Find critical points, build the sign chart of $f'$, and read each crossing.
- $+\to-$: local max. $-\to+$: local min. No change: neither.
- Works even where $f'$ is undefined (a corner), as long as the sign flips.
- This is the AP's most-used tool for classifying extrema.
Nếu $f'$ giữ nguyên cùng một dấu ở hai bên của một điểm tới hạn, thì không có cực trị nào tại đó.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Không có sự đổi dấu (như $y=x^3$ tại $0$) nghĩa là không có cực đại hay cực tiểu.
Đối với $f(x)=x^3-3x$, điểm tới hạn $x=1$ là một...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$f'$ chuyển $-\to+$ tại $x=1$ → cực tiểu cục bộ.
Đối với $f(x)=x^3-3x$, cực đại cục bộ nằm tại $x=-1$. Tìm giá trị cực đại $f(-1)$.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2$.
Chọn tất cả các phát biểu đúng về Test Đạo hàm Bậc Nhất.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Điều quan trọng là sự đổi dấu, không phải giá trị tại $c$.
It's the change in sign that matters, not the value of $f'$ at $c$ (which is $0$ or undefined there). If $f'$ keeps the same sign on both sides — like $y=x^3$ at $0$ (positive on both sides) — there is no extremum, even though it's a critical point.
Classify the critical points of $f(x)=x^3-3x$ ($f'=3(x-1)(x+1)$).
- At $x=-1$: $f'$ goes $+\to-$ (test $-2$ gives $+$, test $0$ gives $-$) → local max.
- At $x=1$: $f'$ goes $-\to+$ (test $0$ gives $-$, test $2$ gives $+$) → local min.
- Values: local max $f(-1)=2$, local min $f(1)=-2$.
The First Derivative Test classifies a critical point by the sign change of $f'$: $+\to-$ is a local maximum, $-\to+$ is a local minimum, and no sign change means no extremum. Just read the crossings off your $f'$ sign chart.