Tốc độ thay đổi trong ngữ cảnh ứng dụng khác với chuyển động
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| economics/ˌiːkəˈnɒmɪks/ | kinh tế học |
Rates are everywhere, not just motion
- A derivative measures how fast something changes — and that "something" needn't be position.
- Money, populations, temperature, chemical concentration: all change at rates you can model with a derivative.
- The same $f'(a)$ = rate idea applies; only the units and story change.
- This lesson practices reading derivatives across many fields.
Economics, biology, physics — same tool
- Economics 经济学: if $C(x)$ is cost, $C'(x)$ is marginal cost — the cost of one more unit ($\tfrac{\$}{\text{unit}}$).
- Biology: if $P(t)$ is a population, $P'(t)$ is the growth rate ($\tfrac{\text{organisms}}{\text{time}}$).
- Physics: if $Q(t)$ is charge, $Q'(t)$ is current ($\tfrac{\text{coulombs}}{\text{second}}$ = amperes).
- Whatever the field, the derivative's units are always output per input.
$C(x)$ là chi phí tính bằng đô la cho $x$ mặt hàng. Đơn vị của chi phí biên $C'(x)$ là...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Đầu ra trên đầu vào: đô la trên mỗi mặt hàng.
Trong kinh tế học, đạo hàm của hàm chi phí được gọi là chi phí ____.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Chi phí biên = chi phí của một đơn vị thêm vào.
Nối mỗi đại lượng với ý nghĩa của đạo hàm tương ứng.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Đơn vị của đạo hàm luôn là đầu ra trên đầu vào của lĩnh vực đó.
A rate function describes behavior over time
- Often the derivative is itself a function of time, $f'(t)$, describing how fast the quantity changes at each moment.
- Where $f'(t)$ is large, the quantity changes fast; where $f'(t)\approx0$, it is nearly steady.
- A graph of $f'(t)$ tells the story of the change — peaks are moments of fastest change.
- Reading that story is a core exam skill.
Thể tích bể đang xả nước
y = ax² + c
Đường cong giảm này biểu thị thể tích $V(t)$; độ dốc (âm) của nó là tốc độ xả $V'(t)$ — càng dốc thì xả càng nhanh.
Sign and size, in context
- Positive rate: the quantity is growing (population rising, tank filling).
- Negative rate: shrinking (cooling, draining, a declining balance).
- The magnitude compares speeds: a rate of $-50$ is faster change than $-5$.
- Always pair the number with a units-carrying sentence — that's what earns the marks.
Đối với $V(t)=100-4t^2$, tốc độ là $V'(t)=-8t$. Tìm $V'(3)$ (litre mỗi phút).
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$V'(3)=-8(3)=-24$; đang xả với tốc độ $24$ L/phút.
Một tốc độ thay đổi âm có nghĩa là đại lượng được mô hình hóa đang giảm.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Đạo hàm âm → đại lượng giảm.
Hai cân bằng thay đổi theo tốc độ $-5$ và $-50$ đô la/ngày. Cái nào đang thay đổi nhanh hơn?
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Độ lớn quyết định tốc độ: $|-50|>|-5|$, vì vậy $-50$ thay đổi nhanh hơn.
Keep units straight, especially in economics. Marginal cost $C'(x)$ has units of dollars per item, not dollars — it's the cost of the next item, not the total. Reporting a rate as if it were an amount (or dropping the units entirely) loses the meaning the question is testing.
A tank drains so its volume is $V(t)=100-4t^2$ litres ($t$ in minutes).
- Rate of change: $V'(t)=-8t\ \tfrac{\text{L}}{\text{min}}$.
- At $t=3$: $V'(3)=-24\ \tfrac{\text{L}}{\text{min}}$.
- Interpretation: at $3$ minutes, the water is draining out at $24$ litres per minute (negative = decreasing).
A derivative models a rate of change in any field — economics (marginal cost), biology (growth rate), physics (current) — always with units of output per input. The sign says grow vs. shrink; the magnitude compares speeds. Interpret each rate in a full, units-carrying sentence.