Chọn Quy trình Tính Đạo hàm
Đã giới thiệuYou have a toolbox — now choose the tool
- By now you own power, constant-multiple, sum/difference, product, quotient, chain, and elementary derivative rules.
- The exam skill is picking the right rule fast, and combining rules in the correct order.
- A messy-looking derivative is usually easy once you see its structure.
- This lesson is a decision guide for reading that structure.
Read the outermost structure first
- Ask: at the very top level, is this a sum, a product, a quotient, or a composition?
- Sum/difference → differentiate term by term.
- Product → product rule; quotient → quotient rule.
- Composition (function inside function) → chain rule, peeling outer to inner.
Đọc cấu trúc, chọn quy tắc
y = a / (x − b)
Việc đường cong đến từ tích, thương hay hợp thành sẽ thay đổi quy tắc vi phân — hãy đọc cấp độ đầu tiên trước.
$y=x^2\sin x$ cần quy tắc nào ở cấp độ đầu?
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Nó là tích của $x^2$ và $\sin x$ → quy tắc tích.
Cấu trúc cấp độ đầu của $\dfrac{\sin x}{x^2}$ là một...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Nó là $\sin x$ chia cho $x^2$ — một thương (hoặc viết lại thành $x^{-2}\sin x$).
Gắn mỗi hàm với quy tắc cấp độ đầu mà nó cần.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Đọc phép toán ngoài cùng: từng số hạng, tích, thương, hoặc hợp thành.
Combine rules in the right order
- Real functions nest rules: a product whose factors are composites, a quotient with a chain inside.
- Work outside-in: apply the top-level rule first, then handle each sub-piece with its own rule.
- $\dfrac{d}{dx}\big[x^2\sin(3x)\big]$: product rule first, and the $\sin(3x)$ factor needs the chain rule → $2x\sin(3x)+x^2\cos(3x)\cdot3$.
- Keep sub-derivatives in labeled boxes so nothing gets dropped.
Rút gọn $\dfrac{x^2+x}{x}$ trước, rồi mới lấy đạo hàm. Đạo hàm là gì?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$\frac{x^2+x}{x}=x+1$, vậy đạo hàm là $1$ — không cần quy tắc thương.
Đối với hàm lồng nhau, áp dụng các quy tắc làm việc từ cấp độ ____ vào bên trong.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Xử lý cấu trúc ngoài cùng trước, sau đó từng phần con.
Simplify smart, then sanity-check
- Before diving in, ask if algebra makes it easier: expand a small product, or split a fraction into terms.
- $\dfrac{x^2+x}{x}=x+1$, so its derivative is just $1$ — no quotient rule needed.
- After differentiating, check for reasonableness: right number of terms, signs sensible, units plausible.
- Choosing well up front beats grinding through the hardest rule by reflex.
Sau khi lấy đạo hàm, kiểm tra câu trả lời xem có hợp lý không (số số hạng, dấu) là thói quen tốt.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Kiểm tra nhanh giúp bắt kịp nhiều sai sót.
Match the rule to the top-level structure, not to the first symbol you see. $\dfrac{\sin x}{x^2}$ is a quotient (use the quotient rule or rewrite as $x^{-2}\sin x$ for the product rule) — it is not just "the derivative of $\sin$." Misreading the structure sends you down the wrong rule entirely.
Differentiate $y=\dfrac{e^{x}}{x^2+1}$.
- Top level is a quotient: $f=e^x$, $g=x^2+1$.
- $f'=e^x$, $g'=2x$ (the $g'$ is a simple power-rule sub-step).
- $y'=\dfrac{e^x(x^2+1)-e^x(2x)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}$.
Selecting a procedure: read the top-level structure — sum, product, quotient, or composition — and apply that rule first, then handle each sub-piece with its own rule, working outside-in. Simplify with algebra when it's cheaper, and check the result for reasonableness.