Quy tắc Đạo hàm: Hằng số, Tổng, Hiệu, và Hằng số Nhân
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | đa thức |
Four rules that break a polynomial apart
- The Power Rule handles one term. To differentiate a whole polynomial 多项式 you need to combine terms.
- Four simple rules let you do it term by term, in your head.
- They cover constants, sums, differences, and coefficients.
- Together with the Power Rule, they differentiate any polynomial in one pass.
Constant, sum, and difference
- Constant rule: the derivative of a constant is $0$. A flat line has zero slope: $\dfrac{d}{dx}[7]=0$.
- Sum rule: $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+g'$ — differentiate each piece and add.
- Difference rule: $\dfrac{d}{dx}[f-g]=f'-g'$ — same, with a minus.
- So you can split a long expression and handle each term separately.
$\dfrac{d}{dx}[12]$ là gì?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Đạo hàm của bất kỳ hằng số nào là $0$.
Theo quy tắc tổng, $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+$ ____.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Viên đạo từng phần rồi cộng lại.
Constant multiple
- Constant multiple rule: a coefficient just rides along: $\dfrac{d}{dx}[k\,f]=k\,f'$.
- $\dfrac{d}{dx}[5x^3]=5\cdot 3x^2=15x^2$.
- The number out front is untouched by differentiation; only the $x$-part changes.
- Combine with the sum rule: $\dfrac{d}{dx}[5x^3-4x]=15x^2-4$.
Một đa thức bậc ba và hệ số góc thay đổi của nó
y = ax³ + bx
Đạo hàm của một đa thức là một đa thức khác — kéo các hệ số số và hình dung nơi hệ số góc dương hay âm.
Nếu $f(x)=5x^3$, hãy tìm $f'(2)$.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$f'(x)=15x^2$, do đó $f'(2)=15\cdot4=60$.
Đối với $\dfrac{d}{dx}[4x^2+3x-8]$, chọn tất cả các đạo hàm của số hạng đúng.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Hằng số $-8$ có đạo hàm là $0$, không phải $-8$.
Differentiate a polynomial in one pass
- Read the polynomial term by term, applying the Power Rule and coefficients as you go.
- $\dfrac{d}{dx}[3x^4-2x^2+7x-9]=12x^3-4x+7-0=12x^3-4x+7$.
- Notice the constant $-9$ vanishes, and the $7x$ becomes just $7$.
- With practice you write the derivative directly, no scratch work.
Vi phân $f(x)=3x^4-2x^2+7x-9$.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Theo từng số hạng: $12x^3$, $-4x$, $+7$, và hằng số $\to 0$.
Quy tắc tổng cho phép bạn tính $\dfrac{d}{dx}[f\cdot g]$ như $f'\cdot g'$.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Quy tắc tổng/sai phân chia qua $+$ và $-$; một tích cần Quy tắc Tích.
There is no "product rule shortcut" hiding here: $\frac{d}{dx}[f\cdot g]$ is not $f'\cdot g'$. The sum/difference rules split across $+$ and $-$ only. Products and quotients need their own rules (lessons 2.8–2.9). Also, the derivative of a constant is $0$, not the constant itself.
Differentiate $p(x)=6x^3+\dfrac{4}{x^2}-x+10$.
- Rewrite: $p(x)=6x^3+4x^{-2}-x+10$.
- Term by term: $6\cdot3x^2$, $4\cdot(-2)x^{-3}$, $-1$, and $0$.
- $p'(x)=18x^2-8x^{-3}-1=18x^2-\dfrac{8}{x^3}-1$.
Four combining rules: constant $\to 0$; sum/difference differentiate term by term; constant multiple keeps the coefficient out front ($\frac{d}{dx}[kf]=kf'$). With the Power Rule these differentiate any polynomial in a single pass — but they split only across $+$ and $-$, never across a product.