Thể tích với Tiết Diện: Tam giác và Nửa hình tròn
Đã giới thiệuÝ tưởng tương tự, nhưng dạng lát cắt khác nhau
- Công thức tính thể tích $V=\int_a^b A(x)\,dx$ áp dụng được cho bất kỳ dạng tiết diện nào — bạn chỉ cần biết $A(x)$.
- Ngoài hình vuông, đề thi AP thường gặp tiết diện tam giác và tiết diện bán tròn.
- Bước mới duy nhất là công thức diện tích chính xác cho hình đó, được viết theo cạnh đáy.
- Lấy $A(x)$ từ hình học, sau đó lấy tích phân như đã làm.
Tiết diện tam giác
- Đối với tam giác đều có cạnh $s$: diện tích $=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$.
- Đối với tam giác vuông cân có cạnh góc vuông $s$: diện tích $=\dfrac12 s^2$; tam giác tổng quát: $\tfrac12\,\text{base}\times\text{height}$.
- Sử dụng độ dài cạnh đáy $s(x)$ (khoảng cách mà lát cắt trải qua) trong công thức diện tích tam giác phù hợp.
- $A(x)=(\text{shape constant})\cdot s(x)^2$, sau đó lấy tích phân.
Đáy mà các lát cắt thay đổi
y = a·√x
Cùng một vùng đáy sẽ cho thể tích khác nhau tùy theo hình dạng lát cắt — chỉ có hằng số diện tích nhân với $s(x)^2$ thay đổi.
Diện tích tam giác đều có cạnh $s$ là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tam giác đều: $\frac{\sqrt3}{4}s^2$.
Nối mỗi hình dạng tiết diện với hằng số diện tích tương ứng (nhân với $s^2$).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Mỗi diện tích bằng hằng số của nó nhân với bình phương của đáy.
Tiết diện bán tròn
- Một bán tròn có đường kính $s$ thì bán kính là $\dfrac{s}{2}$, nên diện tích là $\dfrac12\pi\Big(\dfrac{s}{2}\Big)^2=\dfrac{\pi}{8}s^2$.
- Cạnh đáy của lát cắt là đường kính, vì vậy hãy chia đôi nó để tìm bán kính trước khi bình phương.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}\big(s(x)\big)^2$.
- Chú ý hệ số này: đường kính $\to$ → bán kính là phép chia cho hai, rất dễ bị bỏ sót.
Tiết diện nửa hình tròn có đường kính nằm trên đáy $s(x)$. Bán kính của nó là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đáy là đường kính, nên bán kính bằng một nửa.
Đối với nửa hình tròn có đường kính là đáy $s$, bạn phải chia đôi $s$ để lấy bán kính trước khi bình phương.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Bán kính $=s/2$; việc quên điều này là một lỗi phổ biến.
Luôn luôn là "diện tích theo cạnh đáy"
- Tất cả những trường hợp này đều遵循 $A(x)=(\text{constant depending on shape})\times s(x)^2$.
- Hình vuông $\to 1$; tam giác đều $\to \tfrac{\sqrt3}{4}$; bán nguyệt $\to \tfrac{\pi}{8}$; tam giác cân vuông $\to \tfrac12$.
- Tìm cạnh đáy $s(x)$ từ vùng dữ liệu, thay vào công thức diện tích hình, rồi lấy tích phân.
- Phần tính toán vi phân giống hệt nhau; chỉ có hằng số đầu tiên thay đổi.
Đáy dưới $y=\sqrt x$ trên $[0,4]$, lát cắt nửa hình tròn: $A(x)=\tfrac{\pi}{8}x$. Sau đó $V=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac{\pi}{8}\int_0^4 x\,dx=\tfrac{\pi}{8}\cdot8=\pi$.
Mọi thể tích tiết diện đều là $\int_a^b A(x)\,dx$, trong đó $A(x)$ = (hằng số hình dạng) $\times s(x)$ ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Diện tích tỷ lệ với bình phương của đáy.
Đối với bán tròn, cạnh đáy của lát cắt là đường kính, nên bán kính là $\frac{s}{2}$ — đừng bình phương toàn bộ cạnh đáy như thể nó là bán kính. Và hãy chọn công thức tam giác khớp với loại đã nêu (đều hay vuông cân); chúng có hằng số khác nhau. Cạnh đáy $s(x)$ vẫn là khoảng cách mà lát cắt trải qua.
Cạnh đáy là vùng dưới $y=\sqrt x$ trên $[0,4]$; các tiết diện là bán tròn có đường kính nằm trên cạnh đáy.
- Đường kính $s(x)=\sqrt x$, nên bán kính $=\dfrac{\sqrt x}{2}$.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}(\sqrt x)^2=\dfrac{\pi}{8}x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 \dfrac{\pi}{8}x\,dx=\dfrac{\pi}{8}\cdot 8 = \pi$.
Đối với tiết diện tam giác hoặc bán tròn, sử dụng $V=\int_a^b A(x)\,dx$ với diện tích hình: tam giác đều $\frac{\sqrt3}{4}s^2$, vuông cân $\frac12 s^2$, bán tròn $\frac{\pi}{8}s^2$ (cạnh đáy $=$ đường kính, nên bán kính $=\frac s2$). Tìm cạnh đáy $s(x)$ và lấy tích phân.