Kết nối Vị trí, Vận tốc và Gia tốc của Hàm số Sử dụng Nguyên hàm
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| position/pəˈzɪʃn/ | Vị trí |
| Displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | vị trí tương đối |
Chuyển động, giờ chạy qua tích phân
- Chương 4 đã đi từ vị trí → vận tốc → gia tốc bằng cách vi phân. Tích phân đi ngược lại.
- Tích phân gia tốc để khôi phục vận tốc; tích phân vận tốc để khôi phục vị trí.
- Mỗi bước cộng dồn một tốc độ để lấy đại lượng mà nó thay đổi.
- Vậy tích phân tái xây dựng câu chuyện chuyển động từ các tốc độ.
Để tìm lại vị trí từ vận tốc bạn...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Vị trí $=$ ban đầu $+\int v\,dt$.
Đi lên chuỗi
- Vận tốc từ gia tốc: $v(t)=v(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} a(s)\,ds$.
- Vị trí từ vận tốc: $s(t)=s(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} v(s)\,ds$.
- Mỗi bước cần một giá trị ban đầu (hằng số tích phân ẩn dưới lớp vỏ bọc).
- Tích phân tốc độ, sau đó cộng vào nơi bắt đầu.
Khôi phục vị trí từ vận tốc đòi hỏi một giá trị ____ để xác định hằng số.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Vị trí $=$ vị trí ban đầu $+\int v\,dt$.
Độ dịch chuyển so với quãng đường
- Độ dịch chuyển trên $[a,b]$ là tích phân có dấu của vận tốc: $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$ — sự thay đổi ròng của vị trí.
- Quãng đường tổng là tích phân của tốc độ $|v|$: $\displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt$ — nó không bao giờ trừ đi.
- Nếu vật thể quay đầu, độ dịch chuyển và quãng đường sẽ khác nhau.
- Độ dịch chuyển có thể bằng không sau khi vật đã di chuyển; quãng đường thì không (trừ khi vật chưa bao giờ di chuyển).
Diện tích có dấu dưới vận tốc
y = t − 2 (vận tốc)
Diện tích có dấu dưới $v(t)$ là độ dịch chuyển; lấy giá trị tuyệt đối trên từng phần (chia tại $v=0$) sẽ cho khoảng cách.
Đối với $v(t)=t-2$ trên $[0,3]$, tìm độ dịch chuyển $\int_0^3 (t-2)\,dt$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac92-6=-\tfrac32$.
Độ dịch chuyển có thể bằng không ngay cả khi vật thực sự đã di chuyển.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đi qua lại tạo ra độ dịch chuyển ròng bằng không nhưng quãng đường dương.
Quãng đường nghĩa là tách tại các điểm quay đầu
- Để tính tổng quãng đường, hãy xác định nơi $v=0$ (các điểm quay đầu) và tích phân $|v|$ từng phần một.
- Trên mỗi phần $v$ giữ nguyên dấu, nên $|v|$ chỉ là $\pm v$ tại đó.
- Cộng các diện tích giá trị tuyệt đối của các phần — không có sự triệt tiêu.
- Bước "tách tại $v=0$" này chính là yếu tố tạo ra sự khác biệt giữa quãng đường $\neq$ và độ dịch chuyển.
Đối với $v(t)=t-2$ trên $[0,3]$, tổng quãng đường là $\int_0^3 |t-2|\,dt$. Hãy tính toán.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Chia tại $t=2$: $2+\tfrac12=\tfrac52$.
Tổng quãng đường di chuyển trong khoảng thời gian $[a,b]$ là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tích phân tốc độ $|v|$; việc chia cắt tại các điểm quay trở là bắt buộc.
Độ dịch chuyển ($\int v\,dt$) có dấu và có thể bằng zero ngay cả khi đã di chuyển; tổng quãng đường ($\int|v|\,dt$) không bao giờ âm. Để tìm quãng đường, hãy chia khoảng mà $v=0$ đổi dấu và cộng các giá trị absolute — không chỉ tích phân $v$ rồi lấy abs ở cuối. Và để khôi phục vị trí/tốc độ cần giá trị ban đầu.
Một hạt có $v(t)=t-2$ (m/s) trên $[0,3]$. Tìm độ dịch chuyển và quãng đường di chuyển tổng cộng.
- Độ dịch chuyển: $\displaystyle\int_0^3 (t-2)\,dt=\Big[\tfrac{t^2}{2}-2t\Big]_0^3=\tfrac92-6=-\tfrac32$ m.
- $v=0$ tại $t=2$: âm trên $[0,2)$, dương trên $(2,3]$.
- Quãng đường: $\displaystyle\int_0^2 |t-2|\,dt+\int_2^3|t-2|\,dt = 2 + \tfrac12 = \tfrac52$ m.
Tích phân tái tạo chuyển động: vận tốc $=$ ban đầu $+\int a\,dt$, vị trí $=$ ban đầu $+\int v\,dt$. Độ dịch chuyển trên $[a,b]$ là tích phân có dấu $\int_a^b v\,dt$; tổng quãng đường là $\int_a^b|v|\,dt$ — tách tại các điểm quay đầu ($v=0$) và cộng giá trị abs.