Mô Hình lũy thừa với Phương Trình Vi Phân
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | tăng trưởng theo hàm mũ |
| exponential model/ˌekspəˈnenʃl ˈmɒdl/ | mô hình hàm mũ |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | suy giảm theo hàm mũ |
Phương trình đằng sau sự tăng trưởng mũ
- Một phương trình vi phân xuất hiện khắp nơi: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — "tốc độ tỷ lệ với lượng."
- Nghiệm của nó là mô hình mũ nổi tiếng $y=y_0 e^{kt}$.
- Dân số, phân rã phóng xạ, lãi suất kép, làm mát — tất cả đều tuân theo mẫu này.
- Giải nó một lần và bạn sở hữu một họ lớn các mô hình thực tế.
Suy ra $y=y_0 e^{kt}$
- Tách biến: $\dfrac{1}{y}\,dy = k\,dt$. Tích phân: $\ln|y|=kt+C$.
- Luỹ thừa hóa: $y = e^{kt+C}=A\,e^{kt}$.
- Áp dụng lượng ban đầu $y(0)=y_0$: $A=y_0$.
- Nghiệm: $y=y_0 e^{kt}$ — giá trị ban đầu nhân với $e^{kt}$.
Nghiệm của $\dfrac{dy}{dt}=ky$ với $y(0)=y_0$ là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tách và tích phân: $y=y_0 e^{kt}$.
Tăng trưởng khi $k>0$
- Nếu $k>0$, thì $e^{kt}$ tăng, do đó $y$ thể hiện sự tăng trưởng cấp số.
- Lượng liên tục nhân lên — càng lớn thì càng tăng nhanh.
- $k$ là tốc độ tăng trưởng (liên tục); $k$ lớn hơn có nghĩa là tăng trưởng nhanh hơn.
- Ví dụ: dân số không kiểm soát, lãi suất kép.
Tăng trưởng (k>0) so với suy giảm (k<0)
y = a·e^{bx}
$y=y_0 e^{kt}$ tăng khi $k>0$ và giảm tiến về 0 khi $k<0$ — dấu của $k$ quyết định hành vi.
Trong $y=y_0 e^{kt}$, tăng trưởng lũy thừa xảy ra khi...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$k>0$ làm $e^{kt}$ tăng → tăng trưởng.
Đối với $P=500e^{0.3t}$, tìm $P(0)$ (lượng ban đầu).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$P(0)=500 e^0=500$.
Phân rã khi $k<0$
- Nếu $k<0$, thì $e^{kt}$ giảm, do đó $y$ thể hiện sự phân rã mũ.
- Lượng co lại tiến tới $0$ nhưng không bao giờ chạm đến hoàn toàn.
- Phân rã phóng xạ và sự chênh lệch nhiệt độ làm mát tuân theo $k<0$.
- Độ lớn $|k|$ thiết lập tốc độ xảy ra phân rã (liên quan đến thời gian bán rã).
Suy giảm lũy thừa xảy ra khi $k$ là ____ (dấu của nó).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$k<0$ làm $e^{kt}$ co lại tiến về $0$.
Mô hình $y=y_0 e^{kt}$ áp dụng cho tình huống có tốc độ constant $\dfrac{dy}{dt}=c$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tốc độ constant tạo ra đường thẳng; mô hình lũy thừa cần tốc độ ∝ lượng.
Tình huống nào được mô hình hóa bởi $\dfrac{dy}{dt}=ky$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Ba cái đầu tiên có tốc độ tỷ lệ với lượng; vòi nước constant-rate thì không.
Mô hình mũ chỉ đến duy nhất từ $\frac{dy}{dt}=ky$ (tốc độ tỷ lệ với lượng). Đừng áp dụng $y=y_0 e^{kt}$ vào tình huống tốc độ không đổi ($\frac{dy}{dt}=c$, tạo ra đường thẳng). Và dấu của $k$ là everything: $k>0$ tăng, $k<0$ phân rã — sai dấu sẽ đảo ngược toàn bộ hành vi.
Một tổ chức $500$ vi khuẩn phát triển sao cho $\dfrac{dP}{dt}=0.3P$ ($t$ tính bằng giờ). Tìm $P(t)$ và $P(4)$.
- Mô hình: $P=P_0 e^{kt}=500\,e^{0.3t}$.
- Tại $t=4$: $P(4)=500\,e^{1.2}\approx500(3.32)\approx1660$ vi khuẩn.
- Vì $k=0.3>0$, đây là sự tăng trưởng mũ.
Phương trình vi phân $\frac{dy}{dt}=ky$ đưa ra mô hình mũ $y=y_0 e^{kt}$, trong đó $y_0$ là lượng ban đầu. $k>0$ → tăng trưởng mũ; $k<0$ → phân rã mũ. Nó chỉ áp dụng khi tốc độ tỷ lệ với lượng hiện tại.