Tìm Nghiệm Riêng Bằng Điều Kiện Ban Đầu và Phương Pháp Tách Biến
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | điều kiện ban đầu |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | nghiệm riêng |
Xác định đường cong duy nhất chân thực
- Nghiệm tổng quát là một họ với hằng số $C$. Thực tế muốn một đường cong.
- Một điều kiện ban đầu — một điểm đã biết $\big(x_0,y_0\big)$ — chọn thành viên đơn lẻ đó.
- Giải phương trình nói chung, sau đó dùng điểm đó để tìm $C$.
- Kết quả là nghiệm riêng cho tình huống đó.
Đường cong duy nhất được chọn bởi điều kiện ban đầu là nghiệm ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Một thành viên của họ nghiệm tổng quát.
Quy trình đầy đủ
- 1. Phân tách các biến số và tích phân cả hai vế (với $+C$) — nghiệm tổng quát.
- 2. Thay thế điều kiện ban đầu $\big(x_0,y_0\big)$ để giải tìm $C$.
- 3. Đưa $C$ đó trở lại và rút gọn.
- 4. Nếu được yêu cầu, giảiexplicitly for $y$.
Điểm ban đầu chọn ra một đường cong
Nghiệm tổng quát là cả một họ; điều kiện ban đầu $y(x_0)=y_0$ chọn ra đường cong duy nhất đi qua điểm đó.
Bạn áp dụng điều kiện ban đầu để tìm $C$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Lấy nghiệm tổng quát trước, sau đó dùng điểm để tìm $C$.
Sắp xếp các bước cho nghiệm riêng.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
Tách, tích phân, áp dụng điểm, rút gọn.
Một ví dụ cụ thể đã giải
- Giải $\dfrac{dy}{dx}=xy$ với $y(0)=3$.
- Nghiệm tổng quát (từ bài học trước): $y=A\,e^{x^2/2}$.
- Áp dụng điểm: $3 = A\,e^{0}=A$, nên $A=3$.
- Nghiệm riêng: $y=3\,e^{x^2/2}$.
Đối với $y=x^2+C$ với $y(1)=5$, tìm $C$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$5=1+C\Rightarrow C=4$.
Nghiệm riêng là $y=x^2+4$. Tìm $y(3)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$3^2+4=13$.
Đối với $\dfrac{dy}{dx}=xy$ với $y(0)=3$ ($y=Ae^{x^2/2}$ tổng quát), nghiệm riêng là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$y(0)=A=3$, do đó $y=3e^{x^2/2}$.
Chú ý miền xác định
- Giải tìm $y$ có thể liên quan đến $\ln$, căn thức, hoặc nghịch đảo — hãy chú ý nơi nghiệm hợp lệ.
- Nghiệm riêng thường tồn tại trên một khoảng chứa $x_0$, không nhất thiết là tất cả các số thực $x$.
- Một dấu hoặc giá trị tuyệt đối có thể cần được giải quyết bằng cách sử dụng điểm đã cho (ví dụ: $y_0>0$ chọn nhánh $+$).
- Nêu miền xác định khi đại số giới hạn nó.
Áp dụng điều kiện ban đầu sau khi tích phân, để tìm $C$ — chứ không phải trước. Và sử dụng điểm đó để giải quyết mọi sự mơ hồ về dấu/tầng: nếu $\ln|y|=\dots$ và $y_0>0$, hãy bỏ giá trị tuyệt đối thành $y>0$. Thay thế điểm quá sớm (như trong cảnh báo của phương pháp tách biến) sẽ làm mất họ nghiệm tổng quát.
Giải $\dfrac{dy}{dx}=2x$ với $y(1)=5$.
- Nghiệm tổng quát: $y=x^2+C$.
- Áp dụng $y(1)=5$: $5 = 1^2 + C \Rightarrow C=4$.
- Nghiệm riêng: $y=x^2+4$.
Một nghiệm riêng là một thành viên duy nhất của họ nghiệm tổng quát được cố định bởi một điều kiện ban đầu. Giải tổng quát (tích phân, giữ $+C$), thay thế điểm $\big(x_0,y_0\big)$ để tìm $C$, và rút gọn. Sử dụng điểm đó để xác định dấu/tầng và ghi chú miền xác định hợp lệ.