Tìm Nghiệm Tổng Quát Bằng Phương Pháp Tách Biến
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| separable/ˈsepərəbl/ | Có thể tách biệt |
Lấy các $x$'s và $y$'s ở hai phía đối diện
- Để thực sự giải một phương trình vi phân (không chỉ phác thảo nó), chúng ta tích phân — nhưng trước hết chúng ta sắp xếp các biến số.
- Một phương trình vi phân được phân tách nếu bạn có thể viết lại sao cho một vế chỉ chứa $y$ và vế kia chỉ chứa $x$.
- $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$ là dạng đặc trưng: một tích của phần $x$ và phần $y$.
- Sau đó mỗi vế có thể được tích phân riêng.
Phương trình nào có thể tách biến?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$xy$ phân tích thành (phần ⟨$x$⟩)$\times$(phần ⟨$y$⟩); một tổng thì không.
$\dfrac{dy}{dx}=x+y$ không thể tách biến vì bạn không thể tách một ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tách biến yêu cầu một tích, không phải một tổng.
Phân tách các biến số
- Coi $\dfrac{dy}{dx}$ là tỷ số của các vi phân và di chuyển mỗi biến số sang vế riêng của nó.
- Từ $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$: chia cho $h(y)$ và nhân với $dx$:
-
$$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$$
- Bây giờ mỗi vế chỉ liên quan đến một biến số và vi phân của nó — sẵn sàng để tích phân.
Tách $\dfrac{dy}{dx}=xy$ cho ra...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Chia cho $y$, nhân với $dx$: $\tfrac1y\,dy=x\,dx$.
Tích phân cả hai vế
- Tích phân vế trái trong $y$ và vế phải trong $x$: $\displaystyle\int\frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx$.
- Thêm một hằng số duy nhất $+C$ (một là đủ — gộp các hằng số của cả hai vế).
- Sau đó giải tìm $y$ nếu có thể, để có nghiệm tổng quát.
- Kết quả là một họ hàm với hằng số $C$.
Nghiệm tổng quát là một họ
Giải $\tfrac{dy}{dx}=ay$ cho ra $y=Ce^{ax}$ — một đường cong cho mỗi hằng số, tất cả đều khớp với cùng một trường.
Tích phân $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$ cho ra...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int\tfrac1y\,dy=\ln|y|$; $\int x\,dx=\tfrac{x^2}{2}$; cộng thêm $+C$.
Giữ nguyên $+C$ (và giải tìm $y$)
- Hằng số tích phân chính là thứ làm cho đây trở thành một họ — đừng bao giờ bỏ nó đi.
- Thường xuyên bạn sẽ lũy thừa hoặc sắp xếp lại để cô lập $y$; $C$ biến đổi nhưng vẫn còn đó.
- Để đáp án dưới dạng quan hệ ẩn cũng được nếu $y$ không thể cô lập một cách gọn gàng.
- Điều kiện ban đầu sau này (bài học 7.7) sẽ xác định rõ $C$.
Bạn nên bao gồm hằng số $+C$ khi giải phương trình vi phân bằng phương pháp tách biến.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$+C$ cho ra nghiệm tổng quát (họ nghiệm).
Nghiệm tổng quát của $\dfrac{dy}{dx}=xy$ là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Lũy thừa $\ln|y|=\tfrac{x^2}{2}+C$ để lấy $y=A e^{x^2/2}$.
Phương pháp tách biến chỉ hoạt động nếu phương trình có dạng (hàm của $x$) $\times$ (hàm của $y$). Đại lượng như $\frac{dy}{dx}=x+y$ là không tách được — bạn không thể tách một tổng. Và đừng quên $+C$ sau khi tích phân: nếu không có nó, bạn sẽ có một đường cong duy nhất, chứ không phải họ nghiệm tổng quát.
Giải $\dfrac{dy}{dx}=xy$ (nghiệm tổng quát).
- Phân tách: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$.
- Tích phân: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2}+C$.
- Lũy thừa: $y = e^{x^2/2+C}=A\,e^{x^2/2}$ (viết $A=e^C$). Nghiệm tổng quát: $y=A\,e^{x^2/2}$.
Tách biến giải một phương trình có thể tách biến $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$: sắp xếp lại thành $\frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx$, tích phân cả hai vế (một $+C$), và giải tìm $y$ để có nghiệm tổng quát. Nó chỉ hoạt động khi phương trình có thể phân tích thành một phần phụ thuộc vào $x$ nhân với một phần phụ thuộc vào $y$.