Lập luận Using Slope Fields
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| solution curve/səˈluːʃn kɜːv/ | Đường cong nghiệm |
| long-term behavior/lɒŋ tɜːm bɪˈheɪvjə/ | Hành vi dài hạn |
Theo dõi các mũi tên đến một đường cong
- Một trường độ dốc là một tập hợp các hướng tiếp tuyến; một đường nghiệm luồn lách qua chúng.
- Bắt đầu từ một điểm cho trước và di chuyển sao cho bạn luôn nằm tiếp tuyến với các gạch gần đó.
- Đường cong bạn vẽ chính là nghiệm riêng đi qua điểm đó.
- Không cần công thức — bạn suy luận về các nghiệm trực tiếp từ trường.
Một đường cong nghiệm đi qua trường độ dốc phải luôn nằm...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nó đi theo các hướng tiếp tuyến.
Phác thảo một nghiệm qua một điểm
- Đặt bút chì tại điểm cho trước và đi theo độ dốc cục bộ, uốn cong khi các gạch chuyển hướng.
- Không bao giờ cắt ngang các dấu gạch ngang theo góc không đúng — luôn di chuyển dọc theo chúng.
- Các điểm xuất phát khác nhau sẽ tạo ra các thành viên khác nhau của họ nghiệm.
- Các dấu gạch ngang hoạt động giống như dòng chảy, và đường cong của bạn là một chiếc thuyền trôi nổi cùng nó.
Luồn một đường cong qua trường
Một đường cong nghiệm luôn tiếp xúc với từng gạch chéo mà nó đi qua — kéo điểm bắt đầu và xem nó di chuyển theo trường.
Hành vi dài hạn từ mô hình
- Nhìn xa về phía bên phải ($x$ hoặc $t$ lớn) và đọc hành vi dài hạn của các nghiệm.
- Các dấu gạch ngang có xu hướng bằng phẳng về phía một đường ngang không? Các nghiệm tiến tới giá trị đó (trạng thái cân bằng).
- Chúng có dốc đứng lên mãi không? Các nghiệm tăng vô hạn.
- Hình dạng tổng thể của trường dự báo nơi các nghiệm sẽ kết thúc.
Mẫu hình tổng thể của một trường độ dốc dự báo hành vi ____ của các nghiệm.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đọc nơi các gạch chéo dẫn các nghiệm khi $x$ tăng.
Cân bằng: ổn định hay không ổn định
- Một hàng ngang các dấu gạch ngang là một cân bằng — một nghiệm hằng số.
- Nếu các nghiệm lân cận hướng vào nó, cân bằng đó là ổn định (một điểm hút).
- Nếu chúng hướng ra, nó là không ổn định.
- Đọc xem các mũi tên chỉ hướng vào hay ra khỏi đường thẳng cho biết điều đó.
Hai đường cong nghiệm khác nhau của cùng một phương trình có thể cắt nhau.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mỗi điểm có một độ dốc duy nhất, nên các đường cong nghiệm không bao giờ cắt nhau.
Đối với $\dfrac{dy}{dt}=y$, trạng thái cân bằng $y=0$ là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Trên $0$ độ dốc đẩy lên, dưới nó đẩy xuống → hướng ra xa $0$.
Một hàng ngang các gạch chéo trong trường độ dốc đại diện cho...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Độ dốc $0$ trên khắp nó → một nghiệm hằng số.
Chọn tất cả các phát biểu đúng về trạng thái cân bằng.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Các trạng thái cân bằng có thể nằm ở bất kỳ $y$ nào mà tốc độ là $0$; tiến vào = bền, đi ra = không bền.
Một đường cong nghiệm phải giữ tiếp xúc với trường độ dốc — nó đi dọc theo các dấu gạch ngang, không cắt ngang qua chúng. Và hai đường cong nghiệm khác nhau cho cùng một phương trình không bao giờ cắt nhau (mỗi điểm chỉ có một độ dốc duy nhất). Nếu bản vẽ phác thảo của bạn có các đường cong giao nhau, bạn đã vẽ sai rồi.
Đối với $\dfrac{dy}{dt}=y$, hãy mô tả các nghiệm đi qua $(0,1)$ và $(0,-1)$.
- Đường thẳng $y=0$ là một cân bằng (độ dốc $0$ tại đó).
- Ở trên nó ($y>0$), các độ dốc là dương → nghiệm đi qua $(0,1)$ tăng ra xa $0$.
- Ở dưới nó ($y<0$), các độ dốc là âm → nghiệm đi qua $(0,-1)$ giảm xuống xa $0$.
- Vì vậy $y=0$ là một cân bằng không ổn định — các nghiệm chạy trốn khỏi nó.
Để suy luận với một trường độ dốc, hãy phác thảo một đường cong nghiệm bằng cách giữ tiếp xúc với các dấu gạch ngang qua một điểm đã cho. Mô hình tổng thể của trường tiết lộ hành vi dài hạn — các nghiệm có thể tiến tới một cân bằng (ổn định) hoặc chạy trốn (không ổn định). Các đường cong nghiệm không bao giờ cắt nhau.