Vẽ Trường Độ Dốc
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| slope field/sləʊp fiːld/ | Trường độ dốc |
Bản đồ các độ dốc trên mặt phẳng
- Một phương trình vi phân $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ cung cấp một độ dốc tại mỗi điểm.
- Vẽ một đoạn ngắn có độ dốc đó tại mỗi điểm của lưới, và bạn sẽ có một trường độ dốc.
- Nó là một "bản đồ" cho thấy các đường nghiệm phải di chuyển về phía nào ở khắp mọi nơi.
- Bạn không cần giải phương trình để vẽ nó — chỉ cần đánh giá độ dốc.
Trường độ dốc cho dy/dx = ay
Mỗi đoạn gạch có độ dốc $\tfrac{dy}{dx}$ tại điểm của nó — phẳng gần $y=0$ và dốc hơn xa hơn đối với $\tfrac{dy}{dx}=ay$.
Trường độ dốc hiển thị, tại mỗi điểm, là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mỗi đoạn gạch là hướng tiếp tuyến tại đó.
Để vẽ trường độ dốc, bạn chỉ cần tính toán độ dốc — bạn ____ cần giải phương trình.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Phương trình cho trực tiếp độ dốc.
Tính độ dốc tại mỗi điểm
- Tại một điểm lưới $(x,y)$, thế vào $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ để lấy con số — đó chính là độ dốc của đoạn thẳng.
- Độ dốc $0$ → một gạch ngang; lớn dương → một gạch đứng dốc lên; âm → xuống dưới.
- Lặp lại trên một mạng lưới các điểm để lấp đầy trường.
- Phương trình cho bạn độ dốc trực tiếp; không cần nguyên hàm.
Đối với $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, tìm độ dốc của đoạn gạch tại điểm $(2,3)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$2+3=5$.
Đối với $\dfrac{dy}{dx}=xy$, độ dốc tại $(3,2)$ là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$xy=3\cdot2=6$ (sử dụng cả hai tọa độ).
Nhận diện các mẫu hình nhanh chóng
- Nếu $F$ chỉ phụ thuộc vào $x$: độ dốc giống hệt nhau dọc theo một đường thẳng đứng (các cột trông giống nhau).
- Nếu $F$ chỉ phụ thuộc vào $y$: độ dốc giống hệt nhau dọc theo một đường thẳng ngang (các hàng trông giống nhau).
- Đối với $\dfrac{dy}{dx}=y$: độ dốc tăng theo chiều cao — phẳng gần $y=0$, dốc xa hơn.
- Nhận ra các mẫu hình này giúp phác thảo nhanh hơn rất nhiều.
Nếu $\dfrac{dy}{dx}$ chỉ phụ thuộc vào $x$, các gạch chéo trong mỗi cột dọc sẽ song song.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Cùng $x$ → cùng độ dốc xuống theo cột.
Các đường cân bằng
- Nơi $F(x,y)=0$, độ dốc là $0$ — một hàng (hoặc đường cong) gồm các gạch ngang.
- Đối với $\dfrac{dy}{dx}=y$, điều đó xảy ra tại $y=0$: một đường ngang toàn bộ gồm các đoạn phẳng.
- Những đường này thường đánh dấu hành vi cân bằng — các nghiệm có thể đi ngang tại đó.
- Chúng là những điểm dễ vẽ nhất, nên hãy bắt đầu từ chúng.
Đối với $\dfrac{dy}{dx}=y$, các đoạn gạch nằm ngang dọc theo đường...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Độ dốc $=y=0$ dọc theo $y=0$.
Trường độ dốc hiển thị các độ dốc của phương trình vi phân, chứ không phải các đường nghiệm bản thân. Các đoạn nhỏ là hướng tiếp tuyến; một nghiệm là đường cong nằm tiếp tuyến với chúng. Và hãy tính độ dốc theo $(x,y)$ của điểm, dùng $y$ khi $F$ phụ thuộc vào nó — không chỉ $x$.
Phác thảo vài độ dốc cho $\dfrac{dy}{dx}=x$.
- Tại $(1,0)$: độ dốc $=1$. Tại $(2,5)$: độ dốc $=2$. Tại $(-1,3)$: độ dốc $=-1$.
- Vì $F=x$ (không có $y$), mọi điểm trong một cột dọc đều có độ dốc giống nhau.
- Các cột gạch song song: phẳng ở $x=0$, nghiêng nhiều hơn khi $|x|$ tăng.
Một trường độ dốc vẽ một đoạn ngắn có độ dốc $\frac{dy}{dx}=F(x,y)$ tại mỗi điểm lưới — một bản đồ các hướng tiếp tuyến, không cần giải. Tính độ dốc tại mỗi $(x,y)$; tìm kiếm các mẫu hình (các cột khớp nhau nếu $F$ chỉ phụ thuộc vào $x$, các hàng nếu chỉ phụ thuộc vào $y$) và các gạch ngang nơi $F=0$.