Kiểm Tra Nghiệm Cho Phương Trình Vi Phân
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| solution/səˈluːʃn/ | nghiệm |
Hàm này có thực sự là nghiệm không?
- Trước khi giải phương trình vi phân, bạn nên có thể kiểm tra một đáp án đề xuất.
- Một nghiệm của phương trình vi phân là một hàm số làm cho phương trình đúng.
- Việc kiểm tra hoàn toàn mang tính cơ học: đạo hàm ứng viên và thế vào.
- Nếu cả hai vế khớp nhau với mọi $x$, đó là nghiệm; nếu không, thì không phải.
Công thức kiểm chứng
- 1. Lấy hàm ứng viên và tính đạo hàm (các đạo hàm) của nó.
- 2. Thế hàm số và các đạo hàm của nó vào phương trình vi phân.
- 3. Rút gọn cả hai vế và kiểm tra xem chúng có bằng nhau (như một đẳng thức theo $x$) hay không.
- Không cần tích phân — việc kiểm chứng chỉ là đạo hàm và thế vào.
Để kiểm chứng một nghiệm dự đoán, bạn...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Lấy đạo hàm nghiệm dự đoán, thay vào, kiểm tra cả hai vế khớp nhau.
Kiểm tra có hướng dẫn
- Liệu $y=e^{3x}$ có giải $\dfrac{dy}{dx}=3y$ không?
- Vi phân: $\dfrac{dy}{dx}=3e^{3x}$.
- Thế vào vế phải: $3y=3e^{3x}$.
- Trái $=$ phải ($3e^{3x}=3e^{3x}$), nên có, $y=e^{3x}$ là nghiệm. ✓
Nghiệm của dy/dx = ky
Mỗi đường gấp khúc $y=Ce^{kx}$ xuyên qua trường độ dốc — kiểm chứng một nghiệm chỉ xác nhận đạo hàm của nó khớp với $ky$.
$y=e^{3x}$ là nghiệm của $\dfrac{dy}{dx}=3y$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{dy}{dx}=3e^{3x}=3y$. ✓
Cả hai vế phải bằng nhau cho ____ giá trị của $x$, không chỉ một, để xác nhận nghiệm.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Một nghiệm thỏa mãn phương trình đồng nhất.
Nghiệm tổng quát so với nghiệm riêng
- $y=Ce^{3x}$ (với bất kỳ hằng số $C$ nào) cũng giải $\dfrac{dy}{dx}=3y$ — cả họ đều là nghiệm tổng quát.
- Chọn một $C$ cụ thể và bạn sẽ có một nghiệm riêng.
- Kiểm chứng hoạt động giống nhau cho cả hai: đạo hàm và kiểm tra phương trình có thỏa mãn hay không.
- Hằng số truyền qua quá trình đạo hàm, nên phép kiểm tra vẫn cân bằng.
Kiểm chứng một nghiệm đã cho đòi hỏi phải tích phân phương trình vi phân.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kiểm chứng là lấy đạo hàm và thay vào; không cần tích phân.
Với những hằng số $C$ nào thì $y=Ce^{3x}$ giải $\dfrac{dy}{dx}=3y$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{dy}{dx}=3Ce^{3x}=3y$ cho mọi $C$ — nghiệm tổng quát.
$y=x^2+C$ có phải là nghiệm của $\dfrac{dy}{dx}=2x$ không?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{dy}{dx}=2x$ bất kể $C$.
Kiểm tra không phải là giải — bạn chỉ đang kiểm tra một candidate đã cho, nên không liên quan đến tích phân. Thay thế cả hàm và đạo hàm của nó vào phương trình và xác nhận cả hai vế giống nhau với mọi $x$, không chỉ tại một điểm. Một sự trùng khớp tại một $x$ đơn lẻ là chưa đủ.
Hãy kiểm chứng rằng $y=x^2+C$ giải $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- Đạo hàm: $\dfrac{dy}{dx}=2x$ (hằng số $+C$ biến mất).
- Phương trình vi phân nói rằng $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- Cả hai vế đều bằng $2x$, nên $y=x^2+C$ là nghiệm cho mọi hằng số $C$. ✓
Để kiểm chứng một nghiệm của phương trình vi phân, đạo hàm ứng viên và thế nó (cùng các đạo hàm) vào phương trình; đó là nghiệm nếu và chỉ nếu cả hai vế bằng nhau với mọi $x$. Không cần tích phân — kiểm chứng là đạo hàm rồi kiểm tra. Một họ có hằng số $C$ là nghiệm tổng quát.