Mô Hình Hóa Các Tình Huống Bằng Phương Trình Vi Phân
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | Phương trình vi phân |
Phương trình mô tả chính sự thay đổi
- Nhiều quy luật thực tế mô tả không phải một lượng giá trị, mà tốc độ thay đổi của nó.
- Một phương trình vi phân liên hệ một hàm với các đạo hàm của nó.
- "Dân số tăng với tốc độ tỷ lệ thuận với quy mô của nó" trở thành $\dfrac{dP}{dt}=kP$.
- Giải phương trình sẽ khôi phục hàm số; đơn vị này nói về việc viết và giải các phương trình như vậy.
Trường độ dốc của phương trình tốc độ
Phương trình $\tfrac{dy}{dt}=ky$ nói rằng tốc độ tỷ lệ thuận với $y$ — trường độ dốc của nó thể hiện sự tăng trưởng mà nó mô hình hóa.
Một phương trình vi phân liên hệ giữa một hàm số với các...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nó bao gồm hàm số và đạo hàm (hoặc các đạo hàm) của nó.
Dịch từ sang phương trình tốc độ
- Cụm từ "tốc độ thay đổi của $y$" chính là $\dfrac{dy}{dt}$ — vế trái phương trình của bạn.
- "tỷ lệ thuận với $y$" → $ky$; "tỷ lệ thuận với độ chênh lệch từ $M$" → $k(M-y)$.
- Khớp mô tả bằng tiếng Anh của tốc độ với một biểu thức trong $y$ (và có thể cả $t$).
- Toàn bộ mô hình là: (tốc độ thay đổi) = (biểu thức đó).
"Tốc độ thay đổi của $y$ tỷ lệ thuận với $y$" trở thành...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tốc độ thay đổi $\frac{dy}{dt}$ = $k$ nhân với $y$.
Nước chảy ra với tốc độ tỷ lệ thuận với lượng nước $W$. Mô hình là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Chảy ra nghĩa là giảm → tốc độ âm: $-kW$.
Các cụm từ mô hình hóa phổ biến
- Tỷ lệ thuận với lượng: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — tăng trưởng/phân rã mũ.
- Tỷ lệ thuận với lượng hiện có và phần còn lại: $\dfrac{dy}{dt}=ky(M-y)$ — kiểu logistic.
- Tốc độ không đổi: $\dfrac{dy}{dt}=c$.
- Đọc cụm từ sẽ cho bạn biết vế phải là gì.
Khớp mỗi cụm từ với biểu thức tốc độ của nó.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Đọc cụm từ để xây dựng vế phải.
Một phương trình vi phân có một họ nghiệm
- Khác với phương trình đại số (một số ẩn duy nhất), một phương trình vi phân có một hàm ẩn.
- Nghiệm của nó thường là một họ các hàm (với một hằng số), chứ không phải một đáp án đơn lẻ.
- Một thành viên cụ thể được xác định sau này bởi điều kiện ban đầu (Bài 7.7).
- Trong lúc này, mục tiêu chỉ là viết phương trình từ tình huống.
$y=kt$ (không có đạo hàm) là một phương trình vi phân.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Một phương trình vi phân phải chứa đạo hàm.
Nghiệm của phương trình vi phân thường là một ____ các hàm, chứ không phải một hàm đơn lẻ.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Một hằng số vẫn còn cho đến khi điều kiện ban đầu cố định nó.
Một phương trình vi phân chứa một đạo hàm — nó là một tuyên bố về tốc độ, chứ không phải chính lượng giá trị đó. "$y$ tỷ lệ thuận với $t$" ($y=kt$) không phải là phương trình vi phân; "tốc độ thay đổi của $y$ tỷ lệ thuận với $y$" ($\frac{dy}{dt}=ky$) thì có. Hãy tìm ngôn ngữ "tốc độ thay đổi".
"Nước trong bể chảy ra với tốc độ tỷ lệ thuận với lượng nước $W$." Viết mô hình.
- Tốc độ thay đổi của $W$: $\dfrac{dW}{dt}$.
- Tỷ lệ thuận với $W$, và rỗng ra (giảm dần) → $\dfrac{dW}{dt}=-kW$ (với $k>0$).
- Dấu âm biểu thị rằng lượng nước đang giảm.
Một phương trình vi phân liên hệ một hàm số với các đạo hàm của nó — nó mô tả một tốc độ thay đổi. Dịch các từ: "tốc độ thay đổi của $y$" là $\frac{dy}{dt}$, "tỷ lệ thuận với $y$" là $ky$, v.v. Nghiệm của nó là một họ hàm số, được xác định sau bởi điều kiện ban đầu.