Chọn Các Kỹ Thuật Cho Nguyên Hàm
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| antidifferentiation/ˌæntɪˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | Lấy nguyên hàm |
Công cụ nguyên hàm nào phù hợp?
- Bạn giờ có nhiều cách để tích phân — kỹ năng nằm ở việc chọn kỹ thuật đúng nhanh chóng.
- Nguyên hàm hóa không có một thuật toán đơn nhất, nên bạn phải đọc cấu trúc của hàm dưới dấu tích phân.
- Một bước sơ bộ nhanh sẽ chỉ dẫn bạn đến quy tắc cơ bản, phép đổi biến, hoặc phép biến đổi đại số.
- Bài học này là hướng dẫn quyết định liên kết các phương pháp tích phân lại với nhau.
Đọc hàm dưới dấu tích phân, chọn phương pháp
y = ax³ + bx
Việc hàm dưới dấu tích phân là lũy thừa thuần túy, hàm hợp hay phân số bất chính quyết định công cụ nguyên hàm nào được sử dụng.
Đầu tiên: liệu quy tắc cơ bản có áp dụng trực tiếp không?
- Hàm dưới dấu tích phân có phải là lũy thừa, hay thuộc một trong các dạng tiêu chuẩn ($\sin, \cos, e^x, \tfrac1x$)?
- Nếu có, hãy áp dụng quy tắc cơ bản và cộng thêm $+C$ — không cần mẹo mồi nào cả.
- $\displaystyle\int (x^3+\cos x)\,dx$ chỉ là tổng các nguyên hàm cơ bản theo từng số hạng.
- Luôn thử điều này trước; đây là con đường nhanh nhất.
Phương pháp nhanh nhất cho $\int (3x^2+e^x)\,dx$ là gì?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Cả hai hạng tử đều là nguyên hàm chuẩn → quy tắc cơ bản.
Tiếp theo: liệu có hàm bên trong kèm theo đạo hàm của nó không?
- Nhận thấy một hàm hợp mà có mặt đạo hàm của hàm bên trong → đổi biến u.
- $\displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,dx$: hàm bên trong là $u=x^2$, và $2x\,dx=du$ nằm ngay đó.
- Nếu $du$ sai lệch một hằng số, hãy điều chỉnh; nếu đạo hàm của hàm bên trong thực sự không tồn tại, đổi biến u sẽ không giúp ích gì.
- Cách này xử lý lớp lớn các tích phân có dạng quy tắc chuỗi.
Tích phân nào làm tốt nhất bằng đặt ẩn phụ u?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Hàm hợp với đạo hàm bên trong ($u=x^2+1$, $du=2x\,dx$) → đặt ẩn phụ u.
Chọn tất cả tín hiệu phương pháp đúng.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Đặt ẩn phụ u không phải lúc nào cũng áp dụng — hãy khớp phương pháp với cấu trúc.
Ngược lại: hãy viết lại đại số trước
- Không có quy tắc cơ bản và cũng không có phép đổi biến sạch sẽ? Viết lại hàm dưới dấu tích phân.
- Phân thức hữu tỷ không đúng → chia đa thức; mẫu số bậc hai không phân tích được → hoàn thành bình phương.
- Khai triển tích, tách phân thức thành các số hạng riêng biệt, hoặc rút gọn — sau đó tiến hành sơ bộ lại.
- Sau khi viết lại, một quy tắc cơ bản hoặc đổi biến u thường sẽ hoàn tất công việc.
Bước đầu tiên cho $\int\dfrac{x^2}{x-1}\,dx$ là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Bậc tử số ≥ Bậc mẫu số → chia trước.
Bạn có thể kiểm tra bất kỳ nguyên hàm nào bằng cách lấy đạo hàm nó để trả về hàm dưới dấu tích phân.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Lấy đạo hàm câu trả lời của bạn sẽ trả về $f$.
Sắp xếp các kỹ thuật từ đầu đến cuối theo thứ tự thử.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
Quy tắc cơ bản, sau đó đặt ẩn phụ u, rồi viết lại.
Đừng vội vàng dùng kỹ thuật phức tạp khi chưa kiểm tra những cách dễ dàng. Hãy thử quy tắc cơ bản trước, rồi đến đổi biến u, và chỉ sau đó mới đến viết lại đại số. Và hãy xác nhận mọi nguyên hàm bằng cách lấy đạo hàm ngược lại hàm dưới dấu tích phân — điều này sẽ bắt được hầu hết các sai sót ngay lập tức.
Chọn một phương pháp cho mỗi bài, sau đó ghi chú bước đầu tiên:
- $\displaystyle\int (3x^2 + e^x)\,dx$: quy tắc cơ bản → $x^3+e^x+C$.
- $\displaystyle\int x\,\sqrt{x^2+1}\,dx$: đổi biến u ($u=x^2+1$, $du=2x\,dx$).
- $\displaystyle\int \dfrac{x^2}{x-1}\,dx$: chia đa thức trước (phân thức không đúng).
Lựa chọn kỹ thuật nguyên hàm hóa: hãy thử quy tắc cơ bản trước; nếu hàm dưới dấu tích phân là hàm hợp kèm theo đạo hàm của hàm bên trong, hãy dùng đổi biến u; ngược lại hãy viết lại đại số (chia đa thức / hoàn thành bình phương / khai triển) và tiến hành sơ bộ lại. Luôn kiểm chứng bằng cách lấy đạo hàm đáp án của bạn.