Tích phân Hàm Số Sử Dụng Phép Chia Dài và Hoàn Thành Bình Phương
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | Hoàn thành bình phương |
| polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/ | Phép chia đa thức dài |
Viết lại trước, rồi tích phân
- Một số hàm hữu tỷ không khớp với bất kỳ nguyên hàm cơ bản nào — cho đến khi bạn viết lại chúng.
- Hai công cụ đại số chuẩn bị cho biểu thức dưới dấu tích phân cứng đầu: chia đa thức và hoàn thành bình phương.
- Cả hai đều không phải là vi phân; chúng chỉ biến đổi phân thức về dạng dễ tính toán hơn.
- Sau đó một quy tắc cơ bản hoặc một tích phân đã biết hoàn thành công việc.
Chia đa thức cho các phân số "lớn hơn"
- Nếu bậc tử số bằng $\ge$ bậc mẫu số, thì phân thức đó là không nguyên.
- Sử dụng chia đa thức dài để tách nó thành một đa thức cộng với phần dư phù hợp.
- $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$ — giờ mỗi phần có thể tích phân một cách dễ dàng.
- $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
Đường cong hữu tỉ cần viết lại
y = a / (x − b)
Phân số bất chính như $\tfrac{x^2}{x+1}$ trở thành đường thẳng cộng thêm phần dư nhỏ — mỗi phần đều dễ tích phân.
Sử dụng phép chia đa thức dài khi bậc của tử số là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Phân số bất chính (tử lớn hơn mẫu) yêu cầu phép chia.
Phép chia dài cho ra $\dfrac{x^2}{x+1}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$x^2=(x+1)(x-1)+1$, nên thương là $x-1$ dư $1$.
Hoàn thành bình phương cho dạng lượng giác nghịch đảo
- Mẫu số dạng $x^2+4x+5$ ẩn chứa bình phương đầy đủ: hoàn thành bình phương để đưa về $(x+2)^2+1$.
- Hình $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ này khớp với nguyên hàm của arctangent.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+4x+5}\,dx=\int\dfrac{1}{(x+2)^2+1}\,dx=\arctan(x+2)+C$.
- Hoàn thành bình phương biến mẫu số bậc hai lộn xộn thành dạng $u^2+a^2$ gọn gàng.
Hoàn thành bình phương, $x^2+4x+5=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$(x+2)^2=x^2+4x+4$, do đó $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$.
Dạng $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ tích phân thành hàm ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int\tfrac{1}{u^2+1}\,du=\arctan u+C$.
Nhận diện tín hiệu
- Bậc tử số $\ge$ bậc mẫu số → hãy thử chia đa thức trước.
- Mẫu số bậc hai không phân tích được (không có nghiệm thực) → thử hoàn thành bình phương để đưa về arctan.
- Đây là các bước chuẩn bị; phần tích phân thực tế sẽ là quy tắc cơ bản hoặc đổi biến sau đó.
- Nhận ra cần viết lại như thế nào chính là một nửa cuộc chiến.
$\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Chia trước, rồi tích phân $x-1+\tfrac1{x+1}$.
Khớp tín hiệu với phép viết lại: chọn tất cả cặp đúng.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Phép chia dài chỉ dành cho phân số bất chính; cả hai đều là phép viết lại tiền tích phân.
Chỉ thực hiện chia đa thức khi phân thức có bậc tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu (bậc tử số $\ge$ bậc mẫu số); chia một phân thức đúng sẽ không mang lại kết quả gì. Và sau khi hoàn thành bình phương, hãy giữ đúng hằng số: $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$, không phải $(x+2)^2+5$. Một hằng số sai sẽ phá vỡ sự khớp với arctan.
Tích phân $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx$.
- Chia đa thức: $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$.
- Tích phân từng số hạng: $\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
- (Mỗi phần đã viết lại đều áp dụng một quy tắc nguyên hàm cơ bản.)
Khi một hàm dưới dấu tích phân hữu tỷ không khớp với quy tắc cơ bản nào, hãy viết lại nó trước: dùng chia đa thức cho phân thức không đúng (bậc tử số $\ge$ bậc mẫu số), hoặc hoàn thành bình phương trong mẫu số bậc hai không phân tích được để đưa về dạng arctangent. Sau đó hoàn tất bằng một nguyên hàm cơ bản.