Tích phân Using Substitution (Sử dụng Phương pháp Đổi biến số)
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | Phương pháp đổi biến |
Quy tắc chuỗi, chạy ngược
- Quy tắc chuỗi tạo ra đạo hàm của các hàm hợp. Tích phân phải phục hồi nó.
- Thay thế u (hoặc u-sub) là sự đảo ngược của quy tắc chuỗi.
- Nó nhận ra một hàm hợp cùng với đạo hàm bên trong của nó và đơn giản hóa bằng cách đổi tên.
- Thành thạo nó và một lớp lớn các tích phân vốn dĩ không thể giải quyết sẽ trở thành công việc thường quy.
Đổi biến u-sub là quy tắc vi phân nào đảo ngược lại?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nó hoàn tác quy tắc chuỗi.
Đổi tên hàm bên trong thành $u$
- Tìm một hàm bên trong $g(x)$ sao cho đạo hàm của nó $g'(x)$ cũng xuất hiện (với hệ số hằng) trong biểu thức dưới dấu tích phân.
- Đặt $u=g(x)$; khi đó $du=g'(x)\,dx$.
- Viết lại toàn bộ tích phân theo biến $u$ — biểu thức phức tạp theo $x$ sẽ trở thành một tích phân đơn giản theo $u$.
- Sau đó thực hiện tích phân theo $u$ và thay thế lại $u=g(x)$ ở bước cuối cùng.
Một hàm hợp sẵn sàng cho đổi biến u-sub
y = ax³ + bx
Một hàm dưới dấu tích phân dạng $2x(x^2+1)^3$ ẩn chứa một hàm bên trong và đạo hàm của nó — đây là tín hiệu để đổi biến.
Đối với $\int 2x(x^2+1)^3\,dx$, một lựa chọn tốt là $u=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$u=x^2+1$ có $du=2x\,dx$, điều này tồn tại.
Một ví dụ gọn gàng của mô hình
- $\displaystyle\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx$. Hàm bên trong là $u=x^2+1$, do đó $du=2x\,dx$.
- Phần $2x\,dx$ nằm trong tích phân chính xác bằng $du$ — khớp hoàn hảo.
- Tích phân trở thành $\displaystyle\int u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+C$.
- Thay thế lại: $\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C$.
$\int 2x(x^2+1)^3\,dx$ bằng...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int u^3\,du=\tfrac{u^4}{4}+C$, sau đó thay thế ngược trở lại.
Xử lý hằng số, hoặc các giới hạn
- Nếu $du$ chỉ sai lệch về mặt hệ số hằng, hãy nhân hoặc chia để sửa lại (ví dụ: $x\,dx=\tfrac12\,du$).
- Đối với tích phân xác định, có thể thay thế lại về $x$ trước khi tính toán, hoặc chuyển đổi giới hạn thành các giá trị theo $u$.
- Cách chuyển đổi giới hạn gọn gàng hơn: chuyển $a,b$ sang $u(a),u(b)$ và không bao giờ quay lại $x$.
- Luôn kết thúc câu trả lời tích phân không xác định bằng biến gốc $x$.
Tính $\int_0^1 3x^2(x^3+1)^2\,dx$ (đặt $u=x^3+1$). Nhập số thập phân.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\int_1^2 u^2\,du=\tfrac{8-1}{3}=\tfrac73\approx2.333$.
Đặt ẩn phụ u đúng sẽ biến đổi hoàn toàn $dx$ thành $du$, không còn dư lại $x$ nào.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Một phần dư của $x$ hoặc $dx$ là lỗi điển hình.
Đặt ẩn phụ u hoạt động khi hàm dưới dấu tích phân chứa...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đạo hàm bên trong $g'(x)$ phải xuất hiện (nhân với hệ số hằng).
Phương pháp đặt ẩn phụ u chỉ hoạt động khi đạo hàm của hàm bên trong có mặt (với hệ số hằng). Nếu $g'(x)$ không có sẵn, bạn không thể tự tạo ra nó. Và đừng quên chuyển đổi $dx$ thành $du$ — việc bỏ sót một $dx$ hay còn dư lại một $x$ là lỗi điển hình. Với tích phân xác định, hãy chọn một trong hai cách: chuyển đổi giới hạn hoặc thay thế lại, không được pha trộn cả hai.
Tính $\displaystyle\int_0^1 3x^2\,(x^3+1)^2\,dx$.
- Đặt $u=x^3+1$, suy ra $du=3x^2\,dx$. Giới hạn mới: $x=0\Rightarrow u=1$, $x=1\Rightarrow u=2$.
- Tích phân trở thành $\displaystyle\int_1^2 u^2\,du=\Big[\tfrac{u^3}{3}\Big]_1^2=\tfrac{8}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{3}$.
u-substitution đảo ngược quy tắc chuỗi: đặt $u=g(x)$ (hàm bên trong), thay thế $g'(x)\,dx$ bằng $du$, tích phân theo $u$, sau đó thay lại (hoặc đổi cận cho tích phân xác định). Phương pháp này áp dụng khi đạo hàm của hàm bên trong xuất hiện với hệ số hằng. Luôn chuyển đổi hoàn toàn $dx\to du$.