Tìm Nguyên hàm và Tích phân Không xác định: Các Quy tắc Cơ bản và Ký hiệu

Từ vựng

English	Ý nghĩa
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	Tích phân bất định
constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/	Hằng số của tích phân

Chạy quy tắc đạo hàm ngược

Định lý cơ bản của Giải tích phần 2 cần một nguyên hàm — vì vậy hãy học cách tìm chúng.
Một nguyên hàm của $f$ là bất kỳ hàm nào có đạo hàm là $f$; cả họ này gọi là tích phân không xác định.
$\displaystyle\int f(x)\,dx$ (không có giới hạn) có nghĩa là "nguyên hàm tổng quát của $f$."
Mọi quy tắc đạo hàm, đọc ngược lại, trở thành quy tắc nguyên hàm.

Quy tắc lũy thừa cho tích phân

Đảo ngược Quy tắc Lũy thừa: tăng số mũ lên một, sau đó chia cho số mũ mới.
$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad(n\neq-1)$$
Kiểm tra: vi phân $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ cho ra $x^n$. ✓
(Trường hợp $n=-1$ là đặc biệt: $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$.)

Luyện tập

$\displaystyle\int x^3\,dx$ là gì?

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

$3x^2+C$
$\dfrac{x^4}{4}+C$
$x^4+C$
$\dfrac{x^2}{2}+C$

Luyện tập

Quy tắc lũy thừa thất bại đối với $n=-1$. Vậy $\displaystyle\int x^{-1}\,dx$ là gì?

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

$\dfrac{x^0}{0}+C$
$\ln|x|+C$
$-x^{-2}+C$
$0$

Đừng bao giờ quên $+C$

Vì đạo hàm của hằng số là $0$, bất kỳ hằng số nào cũng có thể được thêm vào — do đó nguyên hàm là một họ.
Luôn thêm hằng số tích phân $+C$ vào tích phân không xác định.
Không có giới hạn thì không thể xác định được hằng số nào, vì vậy $+C$ vẫn còn.
(Trong tích phân xác định, $+C$ bị triệt tiêu — đó chính là phần sai số.)

Khám phá

Một họ đường cong dịch chuyển bởi +C

y = ax³ + d

Tất cả các nguyên hàm của $f$ chỉ khác nhau bởi một phép dịch chuyển dọc $+C$ — cùng độ dốc ở mọi nơi.

Luyện tập

Một tích phân không xác định nên bao gồm hằng số tích phân $+C$.

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

Các nguyên hàm chuẩn

Đảo ngược các đạo hàm sơ cấp mà bạn đã biết:
$\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$; $\;\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$.
$\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C$; $\;\displaystyle\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$.
Kết hợp với tính tuyến tính để tích phân bất kỳ đa thức hoặc tổng từng hạng tử một.

Luyện tập

$\displaystyle\int \sin x\,dx$ là gì?

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

$\cos x+C$
$-\cos x+C$
$\sin x+C$
$-\sin x+C$

Luyện tập

Tìm $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx$.

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

$2x^3-2x^2+5x+C$
$12x-4+C$
$2x^3-2x^2+5x$
$6x^3-4x^2+5x+C$

Luyện tập

Chọn tất cả các nguyên hàm đúng.

Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today

$\int\cos x\,dx=\sin x+C$
$\int e^x\,dx=e^x+C$
$\int\tfrac1x\,dx=\ln|x|+C$
$\int\cos x\,dx=-\sin x+C$

Watch out

Hai điểm lưu ý quan trọng: luôn cộng $+C$ vào kết quả tích phân không xác định (đó là một phần của đáp án), và quy tắc lũy thừa không áp dụng được cho $n=-1$ — $\int x^{-1}\,dx$ bằng $\ln|x|+C$, chứ không phải $\frac{x^0}{0}$. Ngoài ra, hãy chú ý đến dấu của $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (dấu trừ, tương ứng với đạo hàm của $\cos$).

Example

Tìm $\displaystyle\int (6x^2 - 4x + 5)\,dx$.

Tính từng số hạng (quy tắc lũy thừa ngược): $6\cdot\dfrac{x^3}{3}=2x^3$; $\;-4\cdot\dfrac{x^2}{2}=-2x^2$; $\;5x$.
$\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx = 2x^3-2x^2+5x+C$.
Kiểm tra bằng cách lấy đạo hàm: $6x^2-4x+5$. ✓

Key idea

Một tích phân không xác định $\int f\,dx$ là nguyên hàm tổng quát của $f$. Quy tắc lũy thừa cho tích phân: $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ đối với $n\neq-1$ (và điều kiện $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$). Luôn thêm hằng số tích phân $+C$, và tính tích phân của tổng các số hạng riêng lẻ.