Định lý Cơ bản của Giải tích và Tích phân Xác định
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | Nguyên hàm |
Tính diện tích mà không cần cộng hình chữ nhật
- Tổng Riemann cung cấp ý tưởng về tích phân xác định, nhưng tổng vô số hình chữ nhật là không khả thi.
- Phần thứ hai của Định lý Cơ bản của Giải tích cung cấp một cách tắt.
- Tìm một nguyên hàm $F$ (một hàm có đạo hàm là $f$), sau đó trừ giá trị của nó tại các cận.
- Tích phân trở thành "làm ngược lại đạo hàm, rồi thay hai số vào.".
Một hàm $F$ thỏa mãn $F'=f$ được gọi là ____ của $f$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Định lý cơ phần 2 tính giá trị nguyên hàm tại các cận.
Định lý đánh giá
- Nếu $F'=f$ (để $F$ là nguyên hàm của $f$), thì:
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$
- Tính $F$, đánh giá nó tại giới hạn trên và giới hạn dưới, rồi trừ đi.
- Diện tích có dấu chính xác sẽ xuất hiện — không cần hình chữ nhật, không cần giới hạn của tổng.
Diện tích chính xác, đã tính toán
y = x²
Định lý cơ phần 2 biến diện tích được tô này thành $F(2)-F(0)$ — một nguyên hàm được tính tại các cận.
Định lý cơ phần 2 phát biểu rằng $\int_a^b f\,dx=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tính giá trị nguyên hàm tại cận trên trừ đi cận dưới.
Ký hiệu thanh đánh giá
- Một cách gọn gàng để hiển thị quá trình đánh giá hai bước: $\Big[F(x)\Big]_a^b = F(b)-F(a)$.
- Viết nguyên hàm trong ngoặc vuông với các giới hạn, sau đó trừ "trên trừ dưới.".
- Giữ đúng thứ tự: giá trị giới hạn trên trừ giá trị giới hạn dưới.
- Đảo ngược nó sẽ flip dấu (phù hợp với tính chất đảo ngược giới hạn).
Tính $\int_0^2 x^2\,dx$ sử dụng $F(x)=\tfrac{x^3}{3}$. (Nhập một số thập phân.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac{8}{3}-0=\tfrac83\approx2.667$.
Tính $F(a)-F(b)$ thay vì $F(b)-F(a)$ sẽ cho ra giá trị đúng.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Điều này đảo ngược dấu — hãy dùng cận trên trừ đi cận dưới.
Tính $\int_1^3 2x\,dx$ sử dụng $F(x)=x^2$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$F(3)-F(1)=9-1=8$.
Bất kỳ nguyên hàm nào đều hoạt động
- Nếu $F$ là một nguyên hàm, thì $F+C$ cũng là một nguyên hàm với mọi hằng số — nhưng $+C$ triệt tiêu nhau trong $F(b)-F(a)$.
- Vì vậy đối với một tích phân xác định, bạn có thể chọn nguyên hàm đơn giản nhất và bỏ qua $+C$.
- (Hằng số chỉ quan trọng đối với tích phân không xác định, bài 6.8.)
- Kiểm tra lại bằng cách vi phân $F$ của bạn: bạn sẽ thu được lại $f$.
Đối với tích phân xác định, hằng số $+C$ của nguyên hàm...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$.
Bạn phải sử dụng một nguyên hàm thực sự ($F'=f$), sau đó tính $F(b)-F(a)$ theo thứ tự đó. Đổi sang $F(a)-F(b)$ sẽ đảo ngược dấu. Hằng số $+C$ triệt tiêu trong tích phân xác định, nên đừng lo lắng về nó ở đây — nhưng hãy kiểm tra $F'=f$, nếu không toàn bộ câu trả lời sẽ sai.
Tính $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx$.
- Một nguyên hàm của $x^2$ là $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$ (vì $F'=x^2$).
- $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^2 = \tfrac{2^3}{3}-\tfrac{0^3}{3}=\tfrac{8}{3}$.
- Điều này xác nhận ước lượng tổng Riemann trước đó của $\approx2.67$.
Định lý cơ bản của Giải tích (FTC) Phần 2: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$, trong đó $F$ là một nguyên hàm bất kỳ của $f$ ($F'=f$). Tìm $F$, thay giới hạn trên trừ đi giới hạn dưới. Hằng số $+C$ triệt tiêu, nên bất kỳ nguyên hàm nào cũng được — điều này biến bài toán diện tích thành phép tính đơn giản.