Áp dụng Các tính chất của Tích phân Xác định
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| linearity/lɪˈnɪərɪti/ | Tính tuyến tính |
Các quy tắc giúp tích phân dễ dàng hơn
- Tích phân xác định tuân theo đại số gọn gàng — những quy tắc thân thiện giống như giới hạn và đạo hàm.
- Những tính chất này cho phép bạn tách, kết hợp và sắp xếp lại các tích phân mà không cần tính toán lại diện tích.
- Hầu hết chúng đều xuất phát trực tiếp từ "tích phân = diện tích có dấu".
- Học vài quy tắc cơ bản này và các tích phân trông phức tạp thường được rút gọn trong một bước.
$\int fg\,dx$ bằng $\left(\int f\,dx\right)\left(\int g\,dx\right)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Không có quy tắc tích cho các tích phân.
Tính tuyến tính: tách tổng và đưa hằng số ra ngoài
- Hằng số nhân: $\displaystyle\int_a^b k\,f(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$.
- Tổng / Hiệu: $\displaystyle\int_a^b \big(f\pm g\big)\,dx = \int_a^b f\,dx \pm \int_a^b g\,dx$.
- Kết hợp lại, đây là tính tuyến tính — lấy tích phân từng hạng tử, đưa hệ số ra trước.
- Giống như vi phân, bạn xử lý tổ hợp này từng phần một cách riêng biệt.
Cho trước $\int_0^4 f\,dx=10$ và $\int_0^4 g\,dx=3$, tìm $\int_0^4 (2f-g)\,dx$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$2(10)-3=17$.
Chiều rộng bằng không và đảo ngược giới hạn
- Chiều rộng bằng không: $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$ — không có khoảng, không có diện tích.
- Đảo ngược giới hạn: $\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ — đảo ngược hướng sẽ đổi dấu nó.
- Vì vậy thứ tự của các giới hạn mang theo một dấu.
- Hai điều này giữ cho việc ghi chép nhất quán khi các giới hạn di chuyển.
$\int_5^5 f(x)\,dx$ bằng bao nhiêu đối với bất kỳ $f$ nào?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Khoảng cách có chiều rộng bằng 0 → $0$.
Nếu $\int_1^4 f\,dx=7$, thì $\int_4^1 f\,dx=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đảo ngược cận sẽ đổi dấu: $-7$.
Chọn tất cả các tính chất tích phân xác định hợp lệ.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Ba tính chất đầu tiên đúng; "quy tắc" tích là sai.
Tách một khoảng
- Các khoảng liền kề: $\displaystyle\int_a^c f\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx$.
- Bạn có thể chia một tích phân thành nhiều mảnh tại bất kỳ điểm nội bộ nào $b$ và cộng chúng lại.
- Điều này rất quan trọng đối với các hàm dưới dấu tích phân phân đoạn và khi sử dụng các diện tích con đã cho.
- Nó cũng hoạt động ngược lại: kết hợp hai tích phân liền kề thành một tích phân duy nhất.
Chia nhỏ diện tích tại một điểm nằm trong khoảng
y = x²
Diện tích từ $a$ đến $c$ bằng diện tích từ $a$ đến $b$ cộng với $b$ đến $c$ — tích phân chia nhỏ trên các khoảng lân cận.
Nếu biết $\int_0^2 f\,dx=5$ và $\int_2^6 f\,dx=8$, hãy tìm $\int_0^6 f\,dx$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Các khoảng liền kề cộng lại: $5+8=13$.
Không có "quy tắc tích" nào cho tích phân: $\int fg\,dx \neq \left(\int f\,dx\right)\left(\int g\,dx\right)$. Tính tuyến tính chỉ tách qua tổng và hằng số nhân, chưa bao giờ là tích hay thương. Và nhớ rằng đảo ngược giới hạn sẽ flip dấu — một điểm rất dễ bị bỏ sót.
Cho trước $\displaystyle\int_0^4 f\,dx=10$ và $\displaystyle\int_0^4 g\,dx=3$, tìm $\displaystyle\int_0^4\big(2f-g\big)\,dx$.
- Tính tuyến tính: $\displaystyle\int_0^4 2f\,dx - \int_0^4 g\,dx = 2\int_0^4 f\,dx - \int_0^4 g\,dx$.
- $=2(10)-3=17$.
- Không cần biết chính xác $f$ hay $g$ là gì — các tính chất sẽ làm điều đó.
Tính chất tích phân xác định: tính tuyến tính ($\int kf = k\int f$; $\int (f\pm g)=\int f\pm\int g$), chiều rộng bằng không ($\int_a^a f=0$), đảo ngược giới hạn đổi dấu ($\int_b^a f=-\int_a^b f$), và tách khoảng ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$). Không có quy tắc tích nào cho tích phân.