Giải thích Hành vi của Các hàm Tích lũy Liên quan đến Diện tích
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| extrema/ekˈstremə/ | Cực trị |
Đọc $g$ từ đồ thị của $f$
- Nếu $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, thì theo FTC Phần 1, $g'=f$ — vì vậy $f$ là đạo hàm của $g$.
- Điều đó có nghĩa là mọi thứ từ Đơn vị 5 đều áp dụng: sử dụng $f$ (như $g'$) để phân tích $g$.
- Dấu của $f$ cho bạn biết nơi $g$ tăng và giảm.
- Các nghiệm của $f$ (nơi nó đổi dấu) xác định vị trí các cực trị của $g$.
Khi phân tích $g(x)=\int_a^x f\,dt$, đồ thị của $f$ đóng vai trò như đồ thị của $g'$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Định lý cơ phần 1: $g'=f$.
Tăng/giảm dựa trên dấu của $f$
- Nơi $f(x)>0$: $g$ đang tăng (diện tích đang được cộng vào).
- Nơi $f(x)<0$: $g$ là đang giảm (diện tích bị trừ đi).
- Vì vậy hãy nhìn vào đồ thị của $f$: phía trên trục → $g$ tăng; phía dưới → $g$ giảm.
- $g$ là tổng diện tích có dấu liên tục, nên hướng của nó tuân theo dấu của $f$.
g tăng ở những nơi f dương
y = f(t) (hàm dưới dấu tích phân = g′)
Khi $f$ (chiều cao được tô) dương, diện tích tích lũy $g$ tăng; khi $f$ chuyển sang âm, $g$ giảm.
Đối với $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, $g$ đang tăng đúng ở những nơi...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$g'=f$, do đó $g$ tăng khi $f>0$.
Cực trị của $g$ tại nơi $f$ đổi dấu
- $g$ có cực đại cục bộ tại nơi $f$ (đạo hàm của nó) chuyển từ dương sang âm.
- $g$ có cực tiểu cục bộ nơi $f$ chuyển từ âm sang dương.
- Đây đơn giản là Kiểm tra Đạo hàm bậc nhất áp dụng cho $g$, sử dụng $f$ làm $g'$.
- Các cực trị của hàm lũy phân nằm tại các điểm cắt trục $x$ của $f$.
$g$ đạt cực đại địa phương tại nơi $f$ chuyển đổi từ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$g'=f$ đi từ $+\to-$ → cực đại địa phương của $g$.
Từ đồ thị $f$, bạn có thể đọc được đặc điểm nào của $g=\int_a^x f\,dt$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tăng/giảm, cực trị, độ lồi — tất cả đều từ $f$. Giá trị chính xác cần tính diện tích thực tế.
Độ lồi/lõm của $g$ dựa trên độ dốc của $f$
- Vì $g'=f$, ta có $g''=f'$ — do đó độ lồi/lõm của $g$ phụ thuộc vào độ dốc của $f$.
- Nơi $f$ tăng, $g$ lõm lên; nơi $f$ giảm, $g$ lõm xuống.
- Một điểm uốn của $g$ nằm ở nơi $f$ có cực đại hoặc cực tiểu cục bộ (nơi $f'$ đổi dấu).
- Một đồ thị của $f$ cho bạn biết cả tăng/giảm và độ lồi/lõm của $g$.
Vì $g''=f'$, $g$ lồi lên (concave up) khi $f$ là ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$g''=f'>0$ tại nơi $f$ tăng.
Một giá trị dương lớn của $f$ tại $x$ có nghĩa là $g$ đang...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f=g'$ là tốc độ; một giá trị $f$ lớn có nghĩa là $g$ tăng nhanh, chứ không phải $g$ lớn.
Để phân tích $g(x)=\int_a^x f\,dt$, hãy coi đồ thị của $f$ như là đồ thị của $g'$. Đừng đọc chiều cao của $f$ là chiều cao của $g$ — hãy đọc dấu của $f$ cho sự tăng/giảm của $g$, và sự đổi dấu của $f$ cho các cực trị của $g$. Một giá trị $f$ dương lớn có nghĩa là $g$ đang tăng nhanh, chứ không phải là $g$ có giá trị lớn.
$g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$, nơi $f>0$ trên $(0,3)$, $f(3)=0$, và $f<0$ trên $(3,5)$.
- Trên $(0,3)$: $f>0$ → $g$ tăng. Trên $(3,5)$: $f<0$ → $g$ giảm.
- Tại $x=3$: $f$ chuyển $+\to-$ → $g$ có một cực đại cục bộ.
- Vì vậy $g$ tăng đến đỉnh tại $x=3$, sau đó giảm.
Đối với $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, sử dụng $g'=f$: $g$ tăng nơi $f>0$, giảm nơi $f<0$, và có cực trị nơi $f$ đổi dấu. Vì $g''=f'$, $g$ lõm lên nơi $f$ tăng. Đọc đồ thị của $f$ như là đồ thị của $g'$.