Định lý Cơ bản của Giải tích và Các hàm Tích lũy
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| Fundamental Theorem of Calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/ | Định lý cơ bản của Giải tích |
| accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/ | Hàm lũy tích |
Cầu nối giữa diện tích và độ dốc
- Đạo hàm (độ dốc) và tích phân (diện tích) trông không liên quan — nhưng chúng là nghịch đảo.
- Định lý cơ bản của giải tích (FTC) là mối liên hệ đáng kinh ngạc đó.
- Phần đầu tiên nói về một hàm được định nghĩa bởi một tích phân, được gọi là hàm tích lũy.
- Lấy đạo hàm của nó và — phép màu — bạn sẽ nhận lại được hàm dưới dấu tích phân.
Hàm tích lũy
- Cố định giới hạn dưới $a$ và để giới hạn trên thay đổi: $$g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$
- $g(x)$ là diện tích tích lũy (có dấu) dưới $f$ từ $a$ đến $x$.
- Khi $x$ di chuyển sang phải, $g$ thu thập thêm diện tích; biến số của tích phân $t$ chỉ là giá trị placeholder.
- $g$ là một hàm thực sự theo $x$ — bạn có thể vẽ đồ thị, đạo hàm và phân tích nó.
Diện tích tích lũy đến x
y = t² + 1 (hàm dưới dấu tích phân)
Khi cận trên trượt sang phải, $g(x)$ thu thập thêm diện tích; tốc độ tăng trưởng tức thời của nó chính xác bằng $f(x)$.
Một hàm dạng $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ được gọi là hàm ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nó tích lũy diện tích có dấu đến $x$.
Trong $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, biến $t$ là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$t$ là biến giả; $x$ là đầu vào thực sự của $g$.
Định lý cơ bản phần 1: đạo hàm undo tích phân
- Phần đầu tiên của FTC nói rằng:
-
$$g'(x)=\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$$
- Bằng lời: đạo hàm của hàm tích lũy chính là hàm dưới dấu tích phân.
- Tốc độ tích lũy diện tích tại $x$ = chiều cao $f(x)$ tại đó. Đơn giản tuyệt đẹp.
Theo Định lý cơ phần 1, $\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đạo hàm của hàm tích lũy chính là hàm dưới dấu tích phân $f(x)$.
Đối với $g(x)=\int_2^x (t^2+1)\,dt$, tìm $g'(3)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$g'(x)=x^2+1$, do đó $g'(3)=10$.
Với sự bẻ cong của quy tắc chuỗi
- Nếu giới hạn trên là một hàm $u(x)$, quy tắc chuỗi sẽ kích hoạt:
- $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x))\cdot u'(x)$.
- Thay giới hạn trên vào $f$, sau đó nhân với đạo hàm của giới hạn trên đó.
- (Một biến giới hạn dưới đảo ngược dấu, vì hoán đổi giới hạn sẽ làm đổi dấu tích phân.)
Đối với $\dfrac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt$, đáp án là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Quy tắc chuỗi: thay cận trên vào, nhân với đạo hàm của nó $2x$.
Khi cận trên là $u(x)$, bạn nhân giá trị hàm dưới dấu tích phân tại $u$ với $u'(x)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Yếu tố quy tắc chuỗi này là bắt buộc.
FTC Phần 1 chỉ cho $g'(x)=f(x)$ khi $x$ là cận trên thuần túy. Nếu cận trên là $u(x)$ (như $x^2$), bạn phải nhân với $u'(x)$: $\frac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt = f(x^2)\cdot 2x$. Quên hệ số quy tắc chuỗi này là lỗi phổ biến nhất.
Cho $g(x)=\displaystyle\int_2^x (t^2+1)\,dt$. Tìm $g'(x)$ và $g'(3)$.
- Theo FTC Phần 1: $g'(x)=x^2+1$ (just the integrand with $t\to x$).
- $g'(3)=3^2+1=10$.
- (Không cần tính tích phân trực tiếp — đạo hàm đọc nó ngay lập tức.)
Một hàm tích lũy $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ thu thập diện tích có dấu lên đến $x$. FTC Phần 1: $g'(x)=f(x)$ — lấy đạo hàm của hàm tích lũy trả về hàm dưới dấu tích phân. Nếu giới hạn trên là $u(x)$, nhân với $u'(x)$ (quy tắc chuỗi).