xấp xỉ Diện tích bằng Tổng Riemann
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| Riemann sum/ˈriːmən sʌm/ | tổng Riemann |
| left/left/ | trái |
| right/raɪt/ | phải |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | trung điểm |
| trapezoid/ˈtræpɪzɔɪd/ | hình thang |
| trapezoidal rule/ˈtræpɪzɔɪdl ruːl/ | Quy tắc hình thang |
Ước lượng diện tích cong bằng hình chữ nhật
- Diện tích dưới một đường cong hiếm khi là một hình chữ nhật gọn gàng — vì vậy hãy xấp xỉ nó bằng nhiều hình chữ nhật mỏng.
- Chẻ khoảng thành các dải, dựng một hình chữ nhật trên mỗi dải, và cộng diện tích của chúng lại.
- Tổng diện tích các hình chữ nhật này là một tổng Riemann.
- Càng nhiều, càng mỏng hình chữ nhật → ước lượng càng tốt về diện tích thực.
Diện tích mà chúng ta xấp xỉ
y = x²
Các hình chữ nhật hoặc hình thang lấp đầy diện tích được tô màu dưới đường cong — càng nhiều, càng mỏng thì ước lượng càng tốt.
Sử dụng nhiều hình chữ nhật hơn, mỏng hơn nói chung cải thiện ước lượng tổng Riemann.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Các dải mỏng hơn ôm sát đường cong tốt hơn.
Hình chữ nhật trái, phải và trung điểm
- Chiều cao của mỗi hình chữ nhật lấy từ hàm số — nhưng ở đâu trong dải bạn đo nó?
- Tổng trái: chiều cao lấy từ cạnh trái của mỗi dải.
- Tổng phải: chiều cao lấy từ cạnh phải.
- Tổng trung điểm: chiều cao lấy từ giữa — thường chính xác nhất trong ba loại.
Đối với $f(x)=x^2$ trên $[0,2]$ với $2$ hình chữ nhật bên phải (chiều rộng $1$): chiều cao $f(1)=1$, $f(2)=4$. Tìm tổng Riemann bên phải.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$1\cdot1+4\cdot1=5$.
Cùng thiết lập, nhưng là tổng Riemann bên trái: chiều cao $f(0)=0$, $f(1)=1$. Tìm nó.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$0\cdot1+1\cdot1=1$.
Những cách nào là tiêu chuẩn để chọn chiều cao của hình chữ nhật trong tổng Riemann?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Trái, phải và điểm giữa là các lựa chọn tiêu chuẩn.
Hình thang phù hợp hơn
- Thay vì hình chữ nhật có đỉnh phẳng, nối hai chiều cao cạnh bằng một đỉnh xiên: một hình thang.
- Quy tắc hình thang lấy trung bình của hai chiều cao trái và phải trên mỗi dải.
- Nó ôm sát đường cong trơn tru hơn so với hình chữ nhật, vì vậy thường chính xác hơn.
- Diện tích của mỗi hình thang $=\tfrac12(\text{left height}+\text{right height})\times\text{width}$.
Quy tắc ____ sử dụng đỉnh nghiêng (trung bình của chiều cao hai cạnh) để khít hơn so với hình chữ nhật.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mỗi hình thang trung bình hóa chiều cao bên trái và bên phải.
Ước lượng quá cao hay quá thấp?
- Trên một hàm tăng: tổng trái ước lượng thấp, tổng phải ước lượng cao.
- Đối với hàm giảm: điều ngược lại — bên trái nằm trên, bên phải nằm dưới.
- Sai số của quy tắc hình thang phụ thuộc vào độ lồi (nằm trên khi lồi lên, nằm dưới khi lồi xuống).
- Biết hướng của sai số giúp bạn xác định giới hạn cho diện tích thực tế.
Đối với hàm đồng biến, tổng Riemann bên trái cho kết quả là một...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Chiều cao bên trái là cạnh nhỏ hơn trên đường cong đồng biến → ước lượng thấp hơn.
Ba quy tắc hình chữ nhật có thể đưa ra kết quả khá khác nhau với số lượng dải nhỏ — chúng là xấp xỉ, không phải diện tích chính xác. Và việc tổng bên trái hay bên phải ước lượng quá hay thấp tùy thuộc vào việc hàm số tăng hay giảm, chứ không chỉ dựa vào quy tắc đơn thuần. Luôn kiểm tra hành vi của hàm số.
Ước tính diện tích dưới $f(x)=x^2$ trên $[0,2]$ bằng $2$ hình chữ nhật bên phải (chiều rộng $1$).
- Chiều cao bên phải: $f(1)=1$ và $f(2)=4$.
- Tổng bên phải $=1\cdot1+4\cdot1=5$.
- (Diện tích thực là $\tfrac83\approx2.67$; vì $x^2$ là hàm tăng, tổng bên phải ước lượng quá — như dự đoán.)
Một tổng Riemann xấp xỉ diện tích bằng các hình chữ nhật: chiều cao bên trái, bên phải hoặc trung điểm. Quy tắc hình thang sử dụng đỉnh nghiêng (trung bình cộng chiều cao cạnh) để khít hơn. Đối với hàm tăng, tổng bên trái ước lượng thấp và tổng bên phải ước lượng cao; nhiều dải hơn → xấp xỉ tốt hơn.