Khám phá Tích lũy Thay đổi
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| net change/net tʃeɪndʒ/ | biến thiên thuần túy |
| accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/ | tích lũy |
| area/ˈeərɪə/ | diện tích |
| signed area/saɪnd ˈeərɪə/ | diện tích có dấu |
Cộng các thay đổi để có tổng
- Đạo hàm đã tách các đại lượng thành các tốc độ. Tích phân gộp chúng trở lại thành các tổng.
- Nếu bạn biết tốc độ thay đổi của một đại lượng, bạn có thể tìm thấy thay đổi ròng mà nó tích lũy được.
- Di chuyển với vận tốc đã biết trong một khoảng thời gian → tổng quãng đường là vận tốc được tích lũy theo thời gian.
- Hành động "cộng các tốc độ" này là một ý tưởng lớn thứ hai của giải tích: sự tích lũy.
Tích phân (tích lũy) về cơ bản là phép ngược lại của...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tích lũy một tốc độ undo việc lấy đạo hàm của một tổng lượng.
Sự thay đổi tổng cộng tích lũy từ một tốc độ qua một khoảng thời gian được gọi là sự thay đổi ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Thay đổi thuần = tích lũy có dấu.
Diện tích dưới đồ thị tốc độ = lượng đã tích lũy
- Vẽ một tốc độ thay đổi theo thời gian. Diện tích dưới đồ thị đó chính là tổng thay đổi đã tích lũy.
- Tốc độ không đổi $60\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ trong $2$ h → diện tích hình chữ nhật là $=60\times2=120$ km.
- Một tốc độ biến thiên tạo ra một vùng có biên dạng cong, nhưng ý tưởng vẫn giống nhau: diện tích = lượng đã tích lũy.
- Chiều cao là tốc độ; chiều rộng là khoảng; diện tích là tổng.
Diện tích dưới tốc độ là tổng lượng
y = 3 (tốc độ không đổi)
Diện tích được tô màu dưới đồ thị tốc độ là lượng đã tích lũy — mở rộng khoảng cách và tổng lượng tăng lên.
Vòi nước chảy với tốc độ $3$ L/phút trong $4$ phút. Diện tích dưới đồ thị tốc độ (thể tích tích lũy) là...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Diện tích hình chữ nhật $=3\times4=12$ L.
Một tốc độ tăng tuyến tính từ $0$ đến $6$ trong $4$ phút (một tam giác). Lượng tích lũy (diện tích) là...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Diện tích tam giác $=\tfrac12\times4\times6=12$.
Diện tích có dấu: tốc độ có thể âm
- Khi tốc độ dương, đại lượng tăng (diện tích tính là dương).
- Khi tốc độ âm (bên dưới trục hoành), đại lượng giảm (diện tích tính là âm).
- Thay đổi ròng là diện tích có dấu: phần dương trừ phần âm.
- Vì vậy, một vật di chuyển ngược hướng sẽ trừ vào độ dịch chuyển tích lũy.
Nơi đồ thị tốc độ chìm xuống dưới trục hoành, diện tích đó trừ đi sự thay đổi tích lũy thuần.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Diện tích dưới trục hoành mang giá trị âm (diện tích có dấu).
Trên đồ thị vận tốc-thời gian, phần nằm dưới trục hoành có nghĩa vật thể...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Vận tốc âm = chuyển động lùi = diện tích có dấu âm.
Từ tốc độ trở lại lượng
- Nếu $f$ là tốc độ và bạn tích lũy từ $a$ đến $b$, bạn sẽ thu được sự thay đổi ròng của lượng ban đầu.
- Điều này hoàn toàn ngược lại với việc vi phân — undo tốc độ để khôi phục tổng.
- Công cụ tính toán chính xác diện tích có dấu này là tích phân xác định (sẽ xuất hiện sau).
- Trong lúc này: diện tích dưới đồ thị tốc độ = lượng đã tích lũy.
Thay đổi tích lũy là diện tích có dấu, không chỉ đơn thuần là "diện tích." Một đồ thị vận tốc dips xuống dưới trục hoành có nghĩa là vật di chuyển ngược lại, điều này trừ đi độ dịch chuyển ròng. Đừng cộng tất cả diện tích là dương — các vùng bên dưới trục hoành tính là âm.
Một vòi nước đổ đầy bể với tốc độ $3\,\tfrac{\text{L}}{\text{min}}$ trong $4$ phút, sau đó là $0$.
- Đồ thị tốc độ là hình chữ nhật: chiều cao $3$, chiều rộng $4$.
- Thể tích tích lũy = diện tích $=3\times4=12$ L.
- Nếu tốc độ sau này chuyển sang âm (xả nước), diện tích đó sẽ trừ đi tổng thể tích.
Sự tích lũy biến tốc độ trở lại thành tổng: diện tích có dấu dưới một đồ thị tốc độ thay đổi trong khoảng $[a,b]$ là thay đổi ròng của đại lượng. Tốc độ dương → diện tích cộng thêm; tốc độ âm → diện tích trừ đi. Tích phân xác định làm cho điều này trở nên chính xác.