Khám phá Hành vi của Các Mối quan hệ Ẩn
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| implicit relations/ɪmˈplɪsɪt rɪˈleɪʃnz/ | mối quan hệ ẩn |
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | Vi phân hàm ẩn |
Phân tích đường cong không phải là hàm
- Đường tròn, elip và các liên hệ ẩn khác thất bại trong kiểm tra đường thẳng đứng — chúng không phải là $y=f(x)$.
- Nhưng các công cụ giải tích vẫn hoạt động thông qua đạo hàm ẩn.
- Bạn có thể tìm độ dốc tiếp tuyến, phát hiện tiếp tuyến nằm ngang và dọc, và thậm chí cả độ lồi/lõm của chúng.
- Bài học này áp dụng phương pháp ẩn từ Đơn vị 3 vào các câu hỏi phân tích của Đơn vị 5.
Tiếp tuyến nằm ngang: tử số bằng 0
- Từ vi phân ẩn, bạn thu được $\tfrac{dy}{dx}$ dưới dạng phân số.
- Tiếp tuyến nằm ngang xuất hiện tại nơi $\tfrac{dy}{dx}=0$ — đặt tử số bằng không (với mẫu số $\neq0$).
- Đối với $x^2+y^2=25$: $\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}=0$ khi $x=0$, tức là tại $(0,5)$ và $(0,-5)$ (đỉnh và đáy).
- Đây là các điểm cao nhất và thấp nhất của đồ thị hàm số.
Tiếp tuyến trên đường tròn
y = √(25 − x²) (nửa trên)
Tại $x^2+y^2=25$, phần trên và dưới có tiếp tuyến ngang; phần trái và phải có tiếp tuyến dọc.
Tiếp tuyến ngang trên đường cong ẩn xảy ra nơi $\tfrac{dy}{dx}$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tiếp tuyến ngang ⇔ độ dốc $0$ ⇔ tử số của $\tfrac{dy}{dx}$ bằng 0.
Đối với $x^2+y^2=25$ ($\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}$), chọn tất cả các điểm có tiếp tuyến ngang.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac{dy}{dx}=0$ khi $x=0$: các điểm trên cùng và dưới cùng.
Tiếp tuyến đứng: mẫu số bằng không
- Tiếp tuyến đứng xuất hiện tại nơi $\tfrac{dy}{dx}$ xác định vô nghĩa — đặt mẫu số bằng không (với tử số $\neq0$).
- Đối với $x^2+y^2=25$: $-\tfrac{x}{y}$ xác định vô nghĩa khi $y=0$, tức là tại $(5,0)$ và $(-5,0)$ (trái và phải).
- Đường tiếp tuyến ở đó nằm dọc theo trục tung — đồ thị hàm số đi thẳng lên xuống.
- Tử số bằng 0 → tiếp tuyến ngang; mẫu số bằng 0 → tiếp tuyến đứng.
Tiếp tuyến dọc xảy ra nơi ____ của $\tfrac{dy}{dx}$ bằng 0.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mẫu số bằng 0 ⇒ độ dốc không xác định ⇒ tiếp tuyến dọc.
Đặt mẫu số của $\tfrac{dy}{dx}$ bằng 0 sẽ tìm được các tiếp tuyến là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mẫu số bằng 0 ⇒ tiếp tuyến dọc (tử số bằng 0 ⇒ tiếp tuyến ngang).
Độ lồi lõm: đạo hàm cấp hai ẩn
- Để tìm độ lồi lõm, vi phân $\tfrac{dy}{dx}$ lần nữa, một cách ẩn, để tìm $\tfrac{d^2y}{dx^2}$.
- Hãy nhớ rằng mọi $y$ vẫn phụ thuộc vào $x$, do đó quy tắc chuỗi xuất hiện trở lại, và bạn thay thế $\tfrac{dy}{dx}$ đã biết.
- Dấu của $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ cho biết đồ thị hàm số lõm lên/xuống tại một điểm, giống như trước đây.
- Đây là nhiều đại số hơn, nhưng cùng những ý tưởng: $f''>0$ lõm lên, $f''<0$ lõm xuống.
Một điểm ứng viên phải thỏa mãn phương trình gốc (nằm trên đường cong) mới được tính.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kiểm tra điểm đó thực sự nằm trên đường cong, không chỉ điều kiện độ dốc.
Để tìm độ lõm lồi trên đường cong ẩn, bạn...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đạo hàm bậc hai ẩn $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ cho biết độ lõm lồi thông qua dấu của nó.
Đối với tiếp tuyến nằm ngang, hãy đặt tử số của $\tfrac{dy}{dx}$ bằng 0; đối với tiếp tuyến đứng, hãy đặt mẫu số bằng 0 — đừng hoán đổi chúng. Và một điểm chỉ đủ điều kiện nếu nó thực sự nằm trên đường cong: hãy kiểm tra xem nó có thỏa mãn phương trình gốc hay không, chứ không chỉ điều kiện đạo hàm.
Tìm các tiếp tuyến nằm ngang và đứng của $x^2+y^2=25$.
- $2x+2y\tfrac{dy}{dx}=0\Rightarrow\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}$.
- Nằm ngang ($\tfrac{dy}{dx}=0$): $x=0\Rightarrow(0,5),(0,-5)$.
- Đứng ($\tfrac{dy}{dx}$ xác định vô nghĩa): $y=0\Rightarrow(5,0),(-5,0)$.
Phân tích một quan hệ ẩn bằng vi phân ẩn: $\tfrac{dy}{dx}=0$ (tử số bằng 0) cho ra các tiếp tuyến nằm ngang; $\tfrac{dy}{dx}$ xác định vô nghĩa (mẫu số bằng 0) cho ra các tiếp tuyến đứng. Vi phân ẩn lần nữa để tìm $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ và đọc độ lồi lõm từ dấu của nó. Luôn xác nhận các điểm nằm trên đường cong.