Kết nối Một Hàm số, Đạo hàm Bậc nhất của Nó và Đạo hàm Bậc hai của Nó
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| zero/ˈzɪərəʊ/ | nghiệm của hàm số (điểm không) |
Ba đồ thị kể cùng một câu chuyện
- $f$, $f'$, và $f''$ là ba góc nhìn của cùng một hàm số — và chúng phải hoàn toàn nhất quán.
- Một đặc điểm của $f$ sẽ xuất hiện dưới dạng một đặc điểm cụ thể của $f'$ hoặc $f''$.
- Đề thi rất thích đưa cho bạn một trong ba thứ và hỏi về cái còn lại.
- Nắm vững bảng dịch thuật, các câu hỏi này sẽ trở nên nhanh chóng.
Những gì các nghiệm của $f'$ tiết lộ
- Một nghiệm của $f'$ (nơi $f'=0$) là một điểm dừng của $f$ — cực trị tiềm năng.
- $f'$ đi $+\to-$ tại nghiệm đó → $f$ có cực đại cục bộ; $-\to+$ → cực tiểu cục bộ.
- Nơi $f'>0$ dương, $f$ tăng; nơi $f'<0$ âm, $f$ giảm.
- Vì vậy dấu của $f'$ cho biết tăng/giảm, và các nghiệm của nó cho biết cực trị.
Một hàm số, ba cách đọc
y = ax³ + cx
Trên đường cong này, các nghiệm của $f'$ đánh dấu đỉnh và đáy, và nghiệm của $f''$ đánh dấu điểm uốn.
Một nghiệm đổi dấu của $f'$ đánh dấu, trên đồ thị của $f$, một...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Các nghiệm của $f'$ (đổi dấu) là các cực trị của $f$.
Trên một khoảng mà đồ thị của $f'$ là dương, $f$ đang tăng.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'>0$ ⇔ $f$ tăng.
Những gì các nghiệm của $f''$ tiết lộ
- Một nghiệm thay đổi dấu của $f''$ là một điểm uốn của $f$.
- Nơi $f''>0$ dương, $f$ lõm lên; nơi $f''<0$ âm, lõm xuống.
- Lưu ý: $f''$ là đạo hàm của $f'$, nên nghiệm của $f''$ chính là nơi $f'$ có max hoặc min (độ dốc dốc nhất trên $f$).
- Dấu của $f''$ cho biết độ lồi lõm; các nghiệm thay đổi dấu của nó cho biết điểm uốn.
Một nghiệm đổi dấu của $f''$ đánh dấu, trên đồ thị của $f$, một...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Các nghiệm đổi dấu của $f''$ là các điểm uốn của $f$.
Từ đồ thị của $f''$, bạn có thể đọc những đặc điểm nào của $f$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Độ cong + điểm uốn đến từ $f''$; giá trị chính xác cần $f$ bản thân.
Đọc Across các biểu diễn
- Cho đồ thị của $f'$: các nghiệm của nó → cực trị của $f$; dấu của nó → tăng/giảm của $f$; sự tăng/giảm của chính nó → độ lồi lõm của $f$.
- Cho bảng giá trị: ước lượng $f'$ và $f''$ bằng thương sai, sau đó áp dụng cùng quy tắc.
- Cho công thức: lấy đạo hàm và dùng biểu đồ dấu.
- Cùng logic, ba ngôn ngữ — hãy dịch chuyển tự do.
Đồ thị của $f'$ là dương rồi âm, cắt trục hoành tại $x=2$. Tại $x=2$, $f$ có một...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'$ đi từ $+\to-$ → cực đại địa phương của $f$.
Trên đồ thị của $f'$, chính là ____ (không phải các đỉnh) đã đánh dấu các cực trị của $f$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nghiệm của $f'$ = cực trị của $f$; các đỉnh của $f'$ liên quan đến điểm uốn của $f$.
Giữ phân cấp rõ ràng. Một nghiệm của $f'$ là cực trị của $f$ (không phải của $f'$). Một nghiệm của $f''$ là điểm uốn của $f$ và là cực trị của $f'$. Đọc đồ thị của $f'$ như thể nó là $f$ — coi các đỉnh của nó là cực đại của $f$ — là một sự nhầm lẫn điển hình. Các nghiệm của nó, chứ không phải các đỉnh, mới đánh dấu cực trị của $f$.
Bạn được cho đồ thị của $f'$, hàm này dương trên $(-\infty,2)$, bằng 0 tại $x=2$, và âm sau đó. Điều gì xảy ra với $f$ tại $x=2$?
- $f'$ chuyển $+\to-$ tại $x=2$ → $f$ có cực đại cục bộ tại đó.
- $f$ tăng trước $x=2$ và giảm sau (phù hợp với $f'>0$ rồi $f'<0$).
- Giá trị $f'(2)=0$ biểu thị tiếp tuyến nằm ngang trên $f$.
$f$, $f'$, $f''$ kể một câu chuyện nhất quán. Nghiệm của $f'$ (thay đổi dấu) là các cực trị của $f$; dấu của $f'$ cho biết sự tăng/giảm. Nghiệm của $f''$ (thay đổi dấu) là các điểm uốn của $f$; dấu của $f''$ cho biết độ lồi/lõm. Chuyển đổi phân tích này across đồ thị, bảng số liệu và công thức.