Vẽ Đồ thị của Hàm số và Đạo hàm của chúng
Đã giới thiệuVẽ toàn bộ hình dạng từ các đạo hàm
- Các đạo hàm giống như công thức vẽ đồ thị: $f'$ cho biết độ dốc, $f''$ cho biết độ cong.
- Kết hợp cả hai biểu đồ dấu và bạn sẽ vẽ phác thảo được đường cong mà chưa từng thấy trước đây.
- Cực trị xuất phát từ $f'$; độ lồi lõm và điểm uốn đến từ $f''$.
- Đây là lúc tất cả những gì thuộc Đơn vị 5 hội tụ thành một bức tranh duy nhất.
Thông tin bạn thu thập
- Từ $f'$: khoảng đồng biến/nghịch biến và các cực trị (nơi $f'$ thay đổi dấu).
- Từ $f''$: khoảng lồi/lõm và các điểm uốn (nơi $f''$ thay đổi dấu).
- Cộng thêm vài điểm đã vẽ và các giao điểm để định vị chiều cao.
- Lồng ghép các yếu tố này lại với nhau, hình dạng sẽ tự nhiên hiện ra.
Một cực trị địa phương của $f$ xảy ra tại một ____ của $f'$ nơi nó đổi dấu.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Một nghiệm đổi dấu của $f'$ đánh dấu một cực trị của $f$.
Những đặc điểm nào đến từ $f''$ (đạo hàm bậc hai)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Độ cong + điểm uốn từ $f''$; tăng/giảm + cực trị từ $f'$.
Phác thảo $f'$ từ $f$, và ngược lại
- Biết đồ thị của $f$: nơi $f$ có tiếp tuyến nằm ngang, $f'=0$ (một nghiệm của $f'$).
- Nơi $f$ tăng, $f'$ dương; nơi $f$ giảm, $f'$ âm.
- Nơi $f$ dốc nhất, $f'$ đạt cực trị; tại điểm uốn của $f$, $f'$ có max hoặc min.
- Đọc ngược lại để phác thảo $f$ từ một $f'$ đã cho.
Nơi đồ thị của $f$ có tiếp tuyến nằm ngang, đồ thị của $f'$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tiếp tuyến nằm ngang ⇒ độ dốc $0$ ⇒ $f'=0$.
Nơi $f$ đang tăng, đạo hàm $f'$ của nó là dương.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tăng $f'>0$.
Đánh dấu lên bản phác thảo
- Đánh dấu mỗi cực trị (đỉnh/đáy), mỗi điểm uốn (lúc độ cong đảo chiều), và ghi chú các khoảng.
- Phân loại tăng+lõm lên (cong lên dốc) so với tăng+lồi xuống (phẳng dần), v.v. — tổng cộng bốn tổ hợp.
- Kiểm tra sự nhất quán: cực đại cục bộ nên nằm ở nơi tăng chuyển sang giảm và đường cong có độ lõm hướng xuống.
- Một bản phác thảo sạch sẽ cho thấy cả bốn đặc điểm đều phù hợp với nhau.
Hình dạng hoàn chỉnh
y = ax³ + cx
Đỉnh tại $(-1,2)$, điểm uốn tại $(0,0)$, thung lũng tại $(1,-2)$ — đúng như biểu đồ $f'$ và $f''$ dự đoán.
Tại một điểm nơi $f$ cao nhưng phẳng, giá trị của $f'$ là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đọc độ dốc, không phải độ cao: phẳng ⇒ $f'=0$.
Một cực đại địa phương nên xảy ra nơi $f$ chuyển từ tăng sang giảm và đường cong có độ cong...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Một đỉnh có độ cong xuống (một cái nắp).
Đừng đọc $f'$ dựa vào chiều cao của $f$ — hãy đọc dựa vào độ dốc. Nơi $f$ cao nhưng phẳng, $f'=0$ (không phải "lớn"). Và một nghiệm của $f'$ đánh dấu cực trị tiềm năng của $f$; một nghiệm của $f''$ đánh dấu điểm uốn tiềm năng của $f$ — hãy giữ rõ ràng hai cấp độ khác nhau.
Gợi ý để phác thảo $f(x)=x^3-3x$.
- $f'=3(x-1)(x+1)$: tăng trên $(-\infty,-1)$ và $(1,\infty)$, giảm trên $(-1,1)$; max tại $(-1,2)$, min tại $(1,-2)$.
- $f''=6x$: lồi xuống cho $x<0$, lõm lên cho $x>0$; điểm uốn tại $(0,0)$.
- Bản phác thảo: đi lên đến đỉnh tại $(-1,2)$, đi xuống qua $(0,0)$, chui xuống $(1,-2)$, rồi lại đi lên.
Để vẽ phác thảo đồ thị, kết hợp những gì $f'$ nói (tăng/giảm và cực trị) với những gì $f''$ nói (độ lồi lõm và điểm uốn), cộng thêm vài điểm neo. Đọc $f'$ từ độ dốc của $f$ (không phải chiều cao); nghiệm của $f'$ là cực trị tiềm năng, nghiệm của $f''$ là điểm uốn tiềm năng.