Sử dụng Thử nghiệm Đạo hàm Bậc hai để Xác định Cực trị
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| Second Derivative Test/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv test/ | Kiểm tra Đạo hàm Bậc hai |
| inconclusive/ɪŋkənˈkluːsɪv/ | không kết luận được |
Phân loại cực trị với một con số
- Kiểm tra Đạo hàm Nhất đọc sự thay đổi dấu; Kiểm tra Đạo hàm Hai thường nhanh hơn.
- Tại một điểm tới hạn nơi $f'(c)=0$, chỉ cần kiểm tra dấu của $f''(c)$.
- Lồi lên tại điểm phẳng → một thung lũng; lồi xuống tại điểm phẳng → một đỉnh núi.
- Một lần đánh giá $f''$ có thể giải quyết vấn đề — không cần biểu đồ dấu.
$f''(c) > 0$: một cực tiểu
- Nếu $f'(c)=0$ và $f''(c)>0$, thì $f$ có cực tiểu tương đối tại $c$.
- Lồi lên (một chiếc cốc) với tiếp tuyến ngang = đáy của một thung lũng.
- Trực giác: độ dốc bằng 0 và tăng, vì vậy đường cong quay lên.
Cốc tại cực tiểu, nắp tại cực đại
y = ax³ + cx
Tại cực tiểu địa phương, đường cong có độ cong lên ($f''>0$); tại cực đại địa phương, nó có độ cong xuống ($f''<0$).
Nếu $f'(c)=0$ và $f''(c)>0$, thì $c$ là một...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Độ cong lên tại điểm phẳng = cực tiểu.
$f''(c) < 0$: một cực đại
- Nếu $f'(c)=0$ và $f''(c)<0$, thì $f$ có cực đại tương đối tại $c$.
- Lồi xuống (một chiếc nắp) với tiếp tuyến ngang = đỉnh của một ngọn đồi.
- Độ dốc bằng 0 và giảm, vì vậy đường cong quay xuống.
Nếu $f'(c)=0$ và $f''(c)<0$, thì $c$ là một cực ____ tương đối.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Độ cong xuống tại điểm phẳng = cực đại.
Khi nó nói không có gì
- Nếu $f''(c)=0$, kiểm tra không kết luận được — nó đưa ra không có câu trả lời.
- Điểm đó có thể là cực đại, cực tiểu, hoặc không phải cái nào (như $y=x^3$ tại $0$, hoặc $y=x^4$ tại $0$).
- Trong trường hợp đó, hãy áp dụng Xét dấu đạo hàm bậc nhất (sự thay đổi dấu của $f'$).
- Do đó: nếu $f''$ dễ tính toán, hãy xét đạo hàm bậc hai trước; chuyển sang xét đạo hàm bậc nhất khi $f''(c)=0$.
Nếu $f''(c)=0$, Thử nghiệm Đạo hàm Bậc hai chứng minh rằng không có cực trị nào tại $c$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nó không kết luận được — hãy sử dụng Thử nghiệm Đạo hàm Bậc nhất thay thế.
Đối với $f(x)=x^3-3x$ ($f''=6x$), phân loại $x=-1$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f''(-1)=-6<0$ → cực đại tương đối.
Thử nghiệm Đạo hàm Bậc hai được áp dụng tại một điểm tới hạn nơi...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nó phân loại các điểm tới hạn mà tại đó tiếp tuyến nằm ngang, $f'(c)=0$.
Khi nào bạn nên quay lại dùng Thử nghiệm Đạo hàm Bậc nhất?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Thử nghiệm đầu tiên luôn hoạt động; thử nghiệm thứ hai chỉ thường nhanh hơn.
Xét đạo hàm bậc hai cần $f'(c)=0$ trước tiên — nó phân loại các điểm dừng tại đó tiếp tuyến nằm ngang. Và $f''(c)=0$ là không kết luận được, không phải "cả hai đều không": bạn sau đó bắt buộc phải dùng Xét dấu đạo hàm bậc nhất. Đừng kết luận "không có cực trị" chỉ vì $f''(c)=0$.
Phân loại các điểm dừng của $f(x)=x^3-3x$ bằng cách sử dụng $f''$.
- $f'(x)=3x^2-3=0$ tại $x=\pm1$; $\;f''(x)=6x$.
- Tại $x=1$: $f''(1)=6>0$ → cực tiểu tương đối.
- Tại $x=-1$: $f''(-1)=-6<0$ → cực đại tương đối.
Xét đạo hàm bậc hai: tại một điểm dừng có $f'(c)=0$, $f''(c)>0$ cho biết cực tiểu tương đối và $f''(c)<0$ cho biết cực đại tương đối. Nếu $f''(c)=0$ thì xét nghiệm không kết luận được — hãy quay lại dùng Xét dấu đạo hàm bậc nhất.