Xác định Độ cong của Hàm trên Tập xác định của chúng
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| concavity/kənˈkævɪti/ | độ lồi lõm |
| sign of the second derivative/saɪn ɒvðə ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | dấu của đạo hàm bậc hai |
| concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/ | lõm lên trên |
| concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/ | lõm xuống dưới |
| point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | điểm uốn |
Đường cong bẻ cong như thế nào
- Tăng/giảm cho biết hướng đi của đường cong; độ lồi cho biết cách nó bẻ cong.
- Một đường cong có thể đi lên nhưng bẻ cong như chiếc cốc (hướng lên) hoặc như nắp mũ (hướng xuống).
- Sự bẻ cong được điều khiển bởi dấu của đạo hàm bậc hai.
- $f''$ đo lường việc độ dốc $f'$ tự nó đang thay đổi như thế nào.
Lồi lên: $f'' > 0$
- Nơi $f''(x)>0$, đồ thị lồi lên — hình dạng như nụ cười, giữ nước.
- Độ dốc $f'$ đang tăng (trở nên dương hơn hoặc âm ít hơn).
- Các thung lũng hình cốc là lồi lên.
- Tiếp tuyến nằm bên dưới một đường cong lồi lên.
Đồ thị có độ cong lên chính xác tại những nơi...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Độ cong lên ⇔ $f''>0$ (độ dốc tăng).
Độ cong lên có nghĩa là độ dốc $f'$ là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Độ cong lên ⇔ $f'$ tăng ⇔ $f''>0$.
Lồi xuống: $f'' < 0$
- Nơi $f''(x)<0$, đồ thị lồi xuống — hình dạng như nét nhăn nhó.
- Độ dốc $f'$ đang giảm.
- Các ngọn đồi hình nắp mũ là lồi xuống.
- Tiếp tuyến nằm bên trên một đường cong lồi xuống.
Nơi $f''(x)<0$, đồ thị có độ cong ____ (dạng nắp).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đạo hàm bậc hai âm → độ cong xuống.
Điểm uốn: nơi độ cong đảo chiều
- Điểm uốn là nơi độ lồi thay đổi — từ lên xuống hoặc từ xuống lên.
- Tại đó, $f''$ thay đổi dấu (thường xuyên cắt qua $0$, đôi khi không xác định).
- Xây dựng biểu đồ dấu của $f''$, giống như bạn đã làm với $f'$, để tìm những điểm này.
- Điểm uốn liên quan đến việc độ cong thay đổi, không phải độ dốc.
Độ cong xuống rồi lên
y = x³
Hàm bậc ba này uốn cong như nắp cho $x<0$ và như cốc cho $x>0$ — sự đảo chiều tại $0$ là điểm uốn.
Một điểm uốn đòi hỏi $f''$ phải đổi dấu, không chỉ bằng không.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$y=x^4$ có $f''(0)=0$ nhưng không đổi dấu → không phải điểm uốn.
Đối với $f(x)=x^3$, $f''(x)=6x$. Tại $x$ nào là điểm uốn?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f''=6x$ đổi dấu tại $x=0$.
Đối với $y=x^4$, liệu $x=0$ có phải là điểm uốn không?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f''=12x^2\ge0$ ở cả hai phía — không có sự đổi dấu, do đó không có điểm uốn.
$f''(c)=0$ payload không làm cho $c$ thành điểm uốn — $f''$ thực sự phải thay đổi dấu tại đó. Đối với $y=x^4$, $f''(0)=0$, nhưng $f''\ge0$ ở cả hai phía (không thay đổi dấu), vì vậy $x=0$ không phải là điểm uốn. Hãy kiểm tra dấu ở cả hai phía, đừng chỉ giải $f''=0$.
Tìm độ lồi và điểm uốn của $f(x)=x^3$.
- $f'(x)=3x^2$, $f''(x)=6x$.
- $f''<0$ cho $x<0$ (lõm xuống); $f''>0$ cho $x>0$ (lõm lên).
- $f''$ thay đổi dấu tại $x=0$ → điểm uốn tại $(0,0)$.
Độ lồi được quyết định bởi dấu của $f''$: $f''>0$ → lồi lên (hình cốc), $f''<0$ → lồi xuống (hình nắp). Điểm uốn là nơi $f''$ thay đổi dấu — độ cong đảo chiều. $f''=0$ là ứng viên, nhưng bạn phải xác nhận có sự thay đổi dấu.