Sử dụng Test Đạo hàm Bậc Nhất để Xác định Cực trị Tương đối (Cục bộ)
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| First Derivative Test/fɜːst dɪˈrɪvətɪv test/ | thử nghiệm đạo hàm bậc nhất |
| relative (local) maximum/ˈrelətɪv ˈmæksɪməm/ | cực đại tương đối (cục bộ) |
| relative (local) minimum/ˈrelətɪv ˈmɪnɪməm/ | cực tiểu tương đối (cục bộ) |
Phân loại một điểm tới hạn dựa trên cách $f'$ quay
- Một điểm tới hạn là dự đoán cực trị — giờ đây chúng ta quyết định nó thuộc loại nào.
- Kiểm tra Đạo hàm Bậc nhất đọc sự thay đổi dấu của $f'$ xuyên qua điểm đó.
- Leo lên rồi rớt xuống tạo đỉnh; rớt xuống rồi leo lên tạo đáy.
- Nó tái sử dụng bảng xét dấu của bạn từ bài học trước — không cần tính toán mới.
Derivative chuyển từ dương → âm nghĩa là cực đại
- Nếu $f'$ thay đổi từ dương sang âm tại một điểm tới hạn $c$, thì $f$ có cực đại tương đối (địa phương) tại đó.
- Hàm số đang leo, bằng phẳng, rồi rơi xuống — đỉnh của ngọn đồi.
- Đọc trực tiếp từ bảng xét dấu: một $+$ bên trái $c$, một $-$ bên phải.
- Giá trị cực đại là $f(c)$; vị trí là $x=c$.
Cực đại rồi đến cực tiểu
y = ax³ + cx
Gò bên trái là cực đại cục bộ ($f'$ tăng từ $+$ đến $-$) và gò bên phải là cực tiểu cục bộ (giảm từ $-$ đến $+$).
Nếu $f'$ chuyển từ dương sang âm tại $c$, thì $f$ có một...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Lên rồi xuống = đỉnh đồi = cực đại cục bộ.
Âm → Dương có nghĩa là Min
- Nếu $f'$ thay đổi từ âm sang dương tại $c$, thì $f$ có cực tiểu tương đối (địa phương) tại đó.
- Rơi xuống, bằng phẳng, rồi leo lên — đáy của thung lũng.
- Bảng xét dấu: một $-$ bên trái $c$, một $+$ bên phải $c$.
- Nếu $f'$ không đổi dấu tại $c$, thì không có cực trị tại đó (điểm phẳng).
Nếu $f'$ chuyển từ âm sang dương tại $c$, thì $f$ có một cực ____ cục bộ tại đó.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Xuống rồi lên = đáy thung lũng = cực tiểu cục bộ.
Quy trình chuẩn
- Tìm các điểm tới hạn, xây dựng bảng xét dấu của $f'$, và đọc từng sự chuyển giao.
- $+\to-$: cực đại địa phương. $-\to+$: cực tiểu địa phương. Không đổi: không có cực trị nào.
- Hoạt động ngay cả khi $f'$ không xác định (góc cạnh), miễn là dấu đảo chiều.
- Đây là công cụ phổ biến nhất của AP để phân loại cực trị.
Nếu $f'$ giữ nguyên cùng một dấu ở hai bên của một điểm tới hạn, thì không có cực trị nào tại đó.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Không có sự đổi dấu (như $y=x^3$ tại $0$) nghĩa là không có cực đại hay cực tiểu.
Đối với $f(x)=x^3-3x$, điểm tới hạn $x=1$ là một...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'$ chuyển $-\to+$ tại $x=1$ → cực tiểu cục bộ.
Đối với $f(x)=x^3-3x$, cực đại cục bộ nằm tại $x=-1$. Tìm giá trị cực đại $f(-1)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2$.
Chọn tất cả các phát biểu đúng về Test Đạo hàm Bậc Nhất.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Điều quan trọng là sự đổi dấu, không phải giá trị tại $c$.
Điều quan trọng là sự thay đổi dấu, không phải giá trị của $f'$ tại $c$ (vốn là $0$ hoặc không xác định tại đó). Nếu $f'$ giữ nguyên cùng một dấu ở cả hai bên — như $y=x^3$ tại $0$ (dương ở cả hai bên) — thì không có cực trị, mặc dù nó là một điểm tới hạn.
Phân loại các điểm tới hạn của $f(x)=x^3-3x$ ($f'=3(x-1)(x+1)$).
- Tại $x=-1$: $f'$ đi từ $+\to-$ (thử $-2$ cho kết quả $+$, thử $0$ cho kết quả $-$) → cực đại địa phương.
- Tại $x=1$: $f'$ đi $-\to+$ (kiểm tra $0$ cho $-$, kiểm tra $2$ cho $+$) → cực tiểu cục bộ.
- Giá trị: cực đại địa phương $f(-1)=2$, cực tiểu địa phương $f(1)=-2$.
Kiểm tra Đạo hàm Bậc nhất phân loại một điểm tới hạn dựa trên sự thay đổi dấu của $f'$: $+\to-$ là cực đại địa phương, $-\to+$ là cực tiểu địa phương, và không có sự thay đổi dấu có nghĩa là không có cực trị. Chỉ cần đọc các sự chuyển giao từ bảng xét dấu $f'$ của bạn.