Xác định Các khoảng mà Hàm số Tăng hoặc Giảm
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| sign of the first derivative/saɪn ɒvðə fɜːst dɪˈrɪvətɪv/ | dấu của đạo hàm bậc nhất |
| sign chart/saɪn tʃɑːt/ | bảng dấu |
Dấu của $f'$ kể câu chuyện
- Nơi đường cong tăng hay giảm được viết trong dấu của đạo hàm bậc nhất.
- $f'(x)>0$ trên một khoảng → $f$ là đang tăng ở đó (đi lên dốc).
- $f'(x)<0$ → $f$ là đang giảm (đi xuống dốc).
- Vậy để vẽ sơ đồ nơi $f$ leo lên và rớt xuống, bạn chỉ cần theo dõi dấu của $f'$.
Tăng lên nơi f′ > 0
y = ax³ + cx
Đường cong đi lên nơi độ dốc dương và đi xuống nơi âm — dấu của $f'$ ánh xạ mọi đoạn.
Một hàm số tăng trên một khoảng đúng khi...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đạo hàm bậc nhất dương nghĩa là hàm số tăng.
Xây dựng bảng xét dấu
- Bắt đầu bằng việc tìm các điểm tới hạn (nơi $f'=0$ hoặc không xác định) — những điểm này chia đường số thành các khoảng.
- Vẽ bảng xét dấu: đánh dấu các điểm tới hạn, tạo ra các khoảng mở giữa chúng.
- Chọn một điểm thử trong mỗi khoảng và kiểm tra dấu của $f'$ tại đó.
- Mỗi khoảng chỉ cần một dấu — $f'$ không thể đổi dấu mà không đi qua một điểm tới hạn.
Đối với $f'(x)=3(x-1)(x+1)$, hãy tính $f'(0)$ để kiểm tra khoảng giữa.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$3(-1)(1)=-3<0$, do đó $f$ giảm trên $(-1,1)$.
Các điểm tới hạn chia đường thẳng số thành các khoảng cho một biểu đồ ____ của $f'$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Biểu đồ dấu theo dõi nơi $f'$ mang giá trị dương hay âm.
Đọc các khoảng từ bảng
- Mỗi khoảng mà $f'>0$ mang dấu dương là khoảng đồng biến; mỗi khoảng mà $f'<0$ mang dấu âm là khoảng nghịch biến.
- Viết chúng dưới ký hiệu khoảng: ví dụ, đồng biến trên $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$.
- Sử dụng tập xác định của hàm số làm ranh giới ngoài.
- (Việc có bao gồm điểm tới hạn hay không là chi tiết quy ước; đề AP thường chấp nhận khoảng mở.)
Đối với $f(x)=x^3-3x$ (các điểm tới hạn $\pm1$), chọn tất cả các khoảng tăng.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'>0$ ngoài $[-1,1]$; giảm ở giữa.
Tại sao nó hoạt động
- Giữa hai điểm tới hạn liên tiếp, $f'$ giữ nguyên một dấu — không có sự đảo dấu mà không có nghiệm hoặc điểm gián đoạn.
- Vì vậy, một giá trị thử duy nhất quyết định dấu của cả khoảng.
- Thông tin về dấu này là nền tảng của Kiểm tra Đạo hàm Bậc nhất (tiếp theo bài học).
- Hành vi tăng/giảm chính xác là những gì hàm tốc độ mã hóa.
Một hàm số mang giá trị âm (bên dưới trục $x$) vẫn có thể tăng.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Hàm số tăng phụ thuộc vào $f'>0$, không phải dấu của $f$.
Một điểm thử nghiệm quyết định cả một khoảng vì $f'$ không thể đổi dấu mà không...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Sự đổi dấu đòi hỏi một nghiệm hoặc một điểm không xác định của $f'$.
Theo dõi dấu của $f'$, không phải dấu của $f$. Một hàm số có thể âm nhưng vẫn tăng (ví dụ: tăng từ $-5$ tiến về $-1$). "Tăng" nghĩa là các giá trị đầu ra đang trở nên lớn hơn ($f'>0$), bất kể whether $f$ nằm trên hay dưới trục $x$.
Hàm số $f(x)=x^3-3x$ đang tăng ở đâu?
- $f'(x)=3(x-1)(x+1)$; các điểm tới hạn $x=-1,1$.
- Thử $x=-2$: $f'>0$. Thử $x=0$: $f'=-3<0$. Thử $x=2$: $f'>0$.
- Đồng biến trên $(-\infty,-1)$ và $(1,\infty)$; nghịch biến trên $(-1,1)$.
Dấu của $f'$ xác định hành vi đơn điệu: $f'>0$ → tăng, $f'<0$ → giảm. Chia trục số tại các điểm tới hạn, xây dựng bảng xét dấu với một điểm thử cho mỗi khoảng, và đọc ra các khoảng đồng biến và nghịch biến. Theo dõi dấu của $f'$, không phải của $f$.