Sử dụng Định lý Giá trị Trung bình
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| Mean Value Theorem/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm/ | định lý giá trị trung bình |
Ở đâu đó, tốc độ tức thời bằng tốc độ trung bình
- Lái xe $120$ km trong $2$ giờ: tốc độ trung bình của bạn là $60\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
- Tại một thời điểm nhất định, đồng hồ đo tốc độ chắc chắn phải hiển thị đúng $60$ — bạn không thể lấy trung bình $60$ mà không chạm đến giá trị đó.
- Sự thật trực quan này chính là Định lý Giá trị Trung bình (MVT).
- Nó liên hệ tốc độ biến thiên trung bình trên một khoảng với tốc độ tức thời tại một điểm bên trong.
Các giả thiết đi trước
- MVT yêu cầu $f$ liên tục trên $[a,b]$ và khả vi trên $(a,b)$.
- Nếu cả hai điều kiện đều thỏa mãn, tồn tại ít nhất một $c$ trong $(a,b)$ sao cho
-
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
- Vế trái là tốc độ tức thời; vế phải là tốc độ trung bình trên $[a,b]$.
ĐTBV trên $[a,b]$ yêu cầu những giả thuyết nào?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Liên tục trên khoảng đóng và khả vi trên khoảng mở. ($f(a)=f(b)$ là điều kiện Rolle bổ sung.)
ĐTBV đảm bảo tồn tại một $c$ nơi $f'(c)$ bằng với...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, tốc độ thay đổi trung bình.
Một tiếp tuyến song song với dây cung
- Vế phải là độ dốc của đường dây cung nối hai đầu mút.
- Vậy MVT đảm bảo tồn tại một điểm mà tiếp tuyến song song với đường dây cung đó.
- Về mặt hình học: ở đâu đó độ dốc của đường cong bằng độ dốc trung bình toàn phần.
- Giống như IVT, đây là một định lý tồn tại — nó hứa hẹn rằng $c$ tồn tại, chứ không phải giá trị cụ thể của nó.
Tiếp tuyến song song với dây cung
y = x²
Nào đó bên trong khoảng, độ dốc tiếp tuyến khớp với độ dốc trung bình (dây cung) — điểm đó chính là $c$ được đảm bảo của ĐTBV.
Về mặt hình học, ĐTBV đảm bảo tồn tại một tiếp tuyến song song với đường ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tiếp tuyến tại $c$ song song với dây cung nối các đầu mút.
Tìm điểm $c$ được đảm bảo
- Để tìm $c$: đặt $f'(c)$ bằng tốc độ trung bình và giải phương trình để tìm $c$ trong $(a,b)$.
- Kiểm tra giả thiết trước (liên tục + khả vi) — bỏ qua bước này thì định lý không áp dụng được.
- Bỏ qua mọi nghiệm nằm ngoài khoảng mở $(a,b)$.
- MVT là động cơ đằng sau nhiều kết quả sau này (như "nếu $f'=0$ mọi nơi, $f$ là hằng số").
Đối với $f(x)=x^2$ trên $[2,6]$, tìm $c$ được đảm bảo bởi MVT.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tốc độ thay đổi trung bình $=\frac{36-4}{4}=8$; $2c=8\Rightarrow c=4\in(2,6)$.
Nếu $f$ có góc bẻ trong $(a,b)$, thì ĐTBV vẫn được đảm bảo áp dụng.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Góc bẻ làm mất tính khả vi, nên các giả thuyết bị vi phạm và ĐTBV có thể không áp dụng được.
Giống như ĐTB, ĐTBV là loại định lý gì?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nó đảm bảo rằng một $c$ như vậy tồn tại (mặc dù ở đây bạn thường có thể tìm thấy nó).
Cả hai giả thiết đều bắt buộc. Nếu $f$ có góc nhọn (không khả vi) hoặc đứt đoạn (không liên tục) trên khoảng, MVT có thể thất bại — có thể sẽ không tồn tại $c$ nào. Luôn xác nhận $f$ là liên tục trên $[a,b]$ và khả vi trên $(a,b)$ trước khi áp dụng.
Đối với $f(x)=x^2$ trên $[1,3]$, tìm $c$ được đảm bảo bởi MVT.
- Tốc độ trung bình: $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$.
- $f'(x)=2x$, nên đặt $2c=4\Rightarrow c=2$.
- $c=2$ nằm trong $(1,3)$ ✓ — tại đó độ dốc tiếp tuyến bằng độ dốc trung bình $4$.
Định lý Giá trị Trung bình: nếu $f$ là liên tục trên $[a,b]$ và khả vi trên $(a,b)$, thì tồn tại một $c\in(a,b)$ sao cho $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — tức là tốc độ tức thời bằng tốc độ trung bình, hay nói cách khác là một đường tiếp tuyến song song với dây cung. Kiểm tra các giả thiết, sau đó giải $f'(c)=$ trung bình để tìm $c$.