Sử dụng Quy tắc L'Hospital để xác định giới hạn của các dạng vô định
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| L'Hospital's Rule/ˈelhɒspɪtlz ruːl/ | quy tắc L'Hospital |
| indeterminate forms/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːmz/ | dạng không xác định |
Mẹo đạo hàm cho giới hạn cứng đầu
- Quay lại Đơn vị 1, $\tfrac00$ có nghĩa là "đơn giản hóa bằng đại số." Đôi khi không có đại số nào giúp ích được.
- Quy tắc L'Hospital sử dụng đạo hàm để phá vỡ những giới hạn cứng đầu đó.
- Nó áp dụng cho các dạng vô định $\tfrac00$ và $\tfrac{\infty}{\infty}$.
- Ý tưởng: thay thế tỷ số của các hàm bằng tỷ số của đạo hàm chúng.
Kiểm tra dạng biểu thức trước
- L'Hospital chỉ áp dụng cho một dạng vô định thực sự: $\dfrac00$ hoặc $\dfrac{\infty}{\infty}$.
- Thay thế trước để xác nhận bạn có một dạng vô định — nếu thay thế trực tiếp đã cho ra một số, bạn đã xong, và quy tắc không áp dụng.
- Áp dụng nó trên một giới hạn không phải dạng vô định (như $\tfrac{5}{2}$) sẽ cho kết quả sai.
- Vì vậy hãy luôn kiểm tra dạng biểu thức trước khi dùng quy tắc.
Quy tắc L'Hospital áp dụng cho những dạng vô định nào?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Chỉ có $\tfrac00$ và $\tfrac\infty\infty$. $\tfrac52$ đã xác định; $\tfrac30$ là đường tiệm cận, không phải dạng vô định.
Trước khi áp dụng quy tắc, hãy xác nhận giới hạn là dạng ____ bằng cách thay thế.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Chỉ có $\tfrac00$ hoặc $\tfrac\infty\infty$ đủ điều kiện.
Đạo hàm riêng tử và mẫu
- Quy tắc: $$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$(khi dạng biểu thức là vô định).
- Cảnh báo: đây không phải là quy tắc thương — bạn đạo hàm $f$ và $g$ riêng biệt, không có dấu trừ, không có $g^2$.
- Sau đó đánh giá lại giới hạn mới, đơn giản hơn.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$ — giới hạn nổi tiếng, chỉ trong một dòng.
Tỷ số 0/0 với một giới hạn thực
y = sin(x)/x (gần 0)
$\tfrac{\sin x}{x}$ trông giống như $\tfrac00$ tại $0$ nhưng đường cong hướng mượt mà về $1$ — Quy tắc L'Hospital tìm ra giá trị này một cách nhanh chóng.
Quy tắc L'Hospital sử dụng quy tắc thương $\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$ trên tử số và mẫu số.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nó đạo hàm riêng $f$ và $g$: $\tfrac{f'}{g'}$, không phải quy tắc thương.
Tính $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}$ bằng cách sử dụng quy tắc này.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac00\Rightarrow\lim\tfrac{e^x}{1}=e^0=1$.
Theo L'Hospital, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\cos x}{1}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\cos 0=1$.
Lặp lại nếu vẫn còn dạng vô định
- Nếu tỷ số mới $\tfrac{f'}{g'}$ cũng là $\tfrac00$ hoặc $\tfrac\infty\infty$, áp dụng quy tắc lại.
- Tiếp tục đạo hàm tử và mẫu cho đến khi thu được một giá trị xác định.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}=\tfrac12$ (áp dụng hai lần).
- Mỗi vòng lặp vẫn phải là dạng vô định để hợp lý hóa việc áp dụng thêm.
Áp dụng quy tắc hai lần, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=$ ? (một số thập phân)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\to\tfrac{\sin x}{2x}\to\tfrac{\cos x}{2}=\tfrac12$.
$\dfrac{f'}{g'}$ là không phải quy tắc thương. L'Hospital đạo hàm tử và mẫu riêng biệt: $\frac{d}{dx}[f]$ chia cho $\frac{d}{dx}[g]$ — không có $\frac{f'g-fg'}{g^2}$. Và chỉ dùng nó trên $\tfrac00$ hoặc $\tfrac{\infty}{\infty}$; áp dụng khi giới hạn đã xác định sẽ tạo ra kết quả vô nghĩa.
Tính $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$.
- Thay thế: $\frac{e^0-1}{0}=\frac{0}{0}$ — dạng vô định, nên L'Hospital áp dụng được.
- Đạo hàm tử và mẫu: $\dfrac{e^x}{1}$.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}=e^0=1$.
Quy tắc L'Hospital: đối với các dạng vô định $\tfrac00$ hoặc $\tfrac{\infty}{\infty}$, $\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$ — đạo hàm tử và mẫu riêng biệt (không phải quy tắc thương) và đánh giá lại. Xác nhận dạng biểu thức trước, và lặp lại quy tắc trong khi kết quả vẫn ở dạng vô định.