Xấp xỉ giá trị sử dụng tính tuyến tính cục bộ và tuyến tính hóa
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | tiếp tuyến |
| local linearity/ˈləʊkl lɪˈnɪərɪti/ | tính tuyến tính cục bộ |
| linearization/ˌlɪnɪəraɪˈzeɪʃn/ | tuyến tính hóa |
Phóng to đủ gần thì đường cong trông như đường thẳng
- Chọn bất kỳ đường cong trơn nào, phóng to quanh một điểm, và nó sẽ dẹt thành (gần như) một đường thẳng.
- Đường thẳng đó là tiếp tuyến, và gần điểm tiếp xúc nó ôm sát đường cong.
- Vì vậy, tiếp tuyến là một xấp xỉ tuyệt vời cho hàm số ở lân cận — đây là tính đường thẳng cục bộ.
- Nó cho phép bạn ước lượng các giá trị hàm phức tạp chỉ bằng một độ dốc và một điểm.
Tiếp tuyến áp sát đường cong
y = √x
Gần điểm tiếp xúc, đường thẳng và đường cong gần như trùng khớp — sự gần gũi đó là lý do $L(x)$ xấp xỉ $f(x)$.
Khái niệm rằng một đường cong trơn tru trông giống như đường thẳng khi nhìn gần được gọi là tuyến tính ____ cục bộ.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tính tuyến tính cục bộ là nền tảng của ước lượng bằng tiếp tuyến.
Xây dựng tiếp tuyến
- Tiếp tuyến tại $x=a$ đi qua $\big(a,f(a)\big)$ với độ dốc $f'(a)$.
- Dạng điểm-độ dốc cho sự xấp xỉ tuyến tính:
-
$$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$
- Trong bối cảnh này, $L(x)$ thực chất là đường tiếp tuyến, được đặt tên lại như một công thức xấp xỉ.
Tuyến tính hóa của $f$ tại $a$ là $L(x)=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Dạng điểm-độ dốc của tiếp tuyến: $f(a)+f'(a)(x-a)$.
Xấp xỉ một giá trị gần đó
- Để ước lượng $f(x)$ cho $x$ gần $a$, hãy tính $L(x)$ thay vì — nó thường là phép tính đơn giản.
- Chọn $a$ là một điểm gần đó nơi $f(a)$ và $f'(a)$ đơn giản (một "số đẹp").
- $x$ càng gần $a$ thì xấp xỉ càng tốt.
- Ví dụ: để ước lượng $\sqrt{4.1}$, sử dụng $f(x)=\sqrt x$ tại $a=4$, nơi $f(4)=2$ là con số sạch sẽ.
Sử dụng $L(x)=2+\tfrac14(x-4)$, ước lượng $\sqrt{4.1}=L(4.1)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$2+\tfrac14(0.1)=2.025$.
Ước lượng cao hay thấp? Hãy hỏi độ lồi lõm
- Tiếp tuyến nằm ở một phía của đồ thị cong, nên $L(x)$ sẽ lệch về một hướng.
- Lõm lên (đường cong cong lên trên, $f''>0$): tiếp tuyến nằm dưới đường cong → $L$ là một ước lượng thấp.
- Lõm xuống ($f''<0$): tiếp tuyến nằm trên đường cong → $L$ là một ước lượng cao.
- Kiểm tra dấu của $f''$ sẽ cho bạn biết xấp xỉ của mình bị lệch về hướng nào.
Nếu $f$ lõm xuống gần $a$, thì ước lượng bằng tiếp tuyến $L(x)$ là một...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Lồi xuống → tiếp tuyến nằm trên đường cong → ước lượng cao.
Một hàm tuyến tính hóa chính xác nhất cho các đầu vào xa điểm tiếp xúc.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nó chính xác nhất gần điểm tiếp xúc; độ chính xác giảm khi bạn di chuyển ra xa.
Chọn tất cả các kết luận đúng về ước lượng thấp/cao.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Lên → tiếp tuyến nằm dưới → thấp hơn; xuống → tiếp tuyến nằm trên → cao hơn; cả hai đều phụ thuộc vào $f''$.
Sự xấp xỉ tuyến tính chỉ chính xác gần điểm tiếp xúc — xa khỏi $a$, đường thẳng sẽ trôi away khỏi đường cong. Và việc gọi là ước lượng cao/thấp phụ thuộc vào độ lồi lõm: lõm lên → tiếp tuyến bên dưới → ước lượng thấp; lõm xuống → ước lượng cao. Đừng đoán hướng; hãy kiểm tra dấu của $f''$.
Ước lượng $\sqrt{4.1}$ sử dụng sự xấp xỉ tuyến tính tại $a=4$.
- $f(x)=\sqrt x=x^{1/2}$, nên $f'(x)=\tfrac{1}{2\sqrt x}$; $\;f(4)=2$, $\;f'(4)=\tfrac14$.
- $L(x)=2+\tfrac14(x-4)$, do đó $L(4.1)=2+\tfrac14(0.1)=2.025$.
- Vì $\sqrt x$ là lõm xuống ($f''<0$), đây là một ước lượng cao nhẹ (giá trị thật $\approx2.0248$).
Tính đường thẳng cục bộ cho phép tiếp tuyến xấp xỉ một hàm số gần một điểm. Sự xấp xỉ tuyến tính là $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$; hãy dùng nó để ước lượng $f(x)$ cho $x$ gần $a$. Độ lồi lõm quyết định hướng của sai số: lõm lên → ước lượng thấp, lõm xuống → ước lượng cao.