Giải các bài toán tốc độ liên quan
Đã giới thiệuCông thức lặp lại cho tỷ lệ liên quan
- Các bài toán từ về tỷ lệ liên quan có vẻ khó cho đến khi bạn tuân theo một thuật toán cố định.
- Năm bước giống nhau mỗi lần: vẽ hình, phương trình, vi phân, thế số, giải.
- Quy tắc duy nhất mọi người hay vi phạm: thế số chỉ sau khi đã vi phân.
- Nắm vững công thức này và mọi bài toán tỷ lệ liên quan đều trở nên quen thuộc.
Năm bước
- 1. Vẽ & ghi nhãn các đại lượng đang thay đổi; ghi chú những gì đã cho và cần tìm.
- 2. Liên hệ các biến số bằng một phương trình (hình học/công thức).
- 3. Vi phân cả hai vế theo $t$ (quy tắc chuỗi → các thừa số tốc độ).
- 4. Thế các giá trị đã biết tại thời điểm đó.
- 5. Giải tìm tốc độ chưa biết; báo cáo kèm đơn vị và dấu.
Thể tích tăng nhanh nhất khi lớn
y = a·x³ (V so với r)
Vì $\tfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\tfrac{dr}{dt}$, một tốc độ bán kính cố định khiến tốc độ thể tích bay vọt khi $r$ tăng.
Sắp xếp các bước giải bài toán tốc độ liên quan theo thứ tự.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
Vẽ hình, liên hệ, vi phân, thay thế và giải.
Vi phân trước, thế số sau
- Một số đang thay đổi phải giữ nguyên dưới dạng biến số trong suốt quá trình vi phân.
- Nếu bạn thế $r=5$ trước khi vi phân, tốc độ $\tfrac{dr}{dt}$ của nó sẽ mất đi — và toàn bộ phương pháp sẽ sụp đổ.
- Chỉ thế các giá trị tại thời điểm đó ở bước 4, sau khi đã lấy đạo hàm.
- Những thứ duy nhất bạn có thể cố định sớm là các hằng số thực sự (như chiều dài cố định của một chiếc thang).
Với $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$, $r=5$, và $\dfrac{dr}{dt}=2$, tìm $\dfrac{dV}{dt}$ dưới dạng bội số của $\pi$ (nhập số trước $\pi$).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$4\pi(25)(2)=200\pi$.
Khi nào bạn nên thay thế các giá trị số tại thời điểm cụ thể?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Vi phân trước; thay số chỉ sau đó, nếu không các hạng tử tốc độ sẽ biến mất.
Đặt $r=5$ trước khi vi phân là một cách tắt hợp lệ.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nó tiêu diệt $\tfrac{dr}{dt}$ và phá vỡ phương pháp.
Kiểm tra đơn vị và tính hợp lý
- Kết quả là một tốc độ — hãy gắn đơn vị đầu ra trên đầu vào (ví dụ: $\tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$).
- Kiểm tra dấu: đại lượng tăng → dương; giảm → âm.
- Hỏi xem kích thước có hợp lý với tình huống không.
- Một câu kết luận gọn gàng ("thể tích đang tăng với tốc độ ... mỗi giây") sẽ nhận được điểm diễn giải.
Câu trả lời tốc độ liên quan là một tốc độ, vì vậy nó phải được báo cáo kèm theo ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ví dụ. cm³ mỗi giây.
Một kết quả bài toán liên quan đến tốc độ ra là $\dfrac{dV}{dt}=-30\,\tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$. Điều này có nghĩa là thể tích đang...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tốc độ âm có nghĩa là thể tích đang thu nhỏ lại với tốc độ $30$ cm³/s.
Lỗi số một trong tỷ lệ liên quan: thế giá trị tại thời điểm đó trước khi vi phân. Giữ mọi đại lượng đang thay đổi dưới dạng biểu tượng trong suốt bước vi phân; chỉ thế số sau. Thế số sớm sẽ tiêu diệt các số hạng tốc độ và đưa ra đáp án sai (thường là zero).
Bán kính của một quả bóng bay hình cầu tăng với tốc độ $\tfrac{dr}{dt}=2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$. Thể tích tăng nhanh bao nhiêu khi $r=5$ cm?
- Liên hệ: $V=\tfrac43\pi r^3$. Vi phân: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- Bây giờ thay thế $r=5$, $\tfrac{dr}{dt}=2$: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi(25)(2)=200\pi$.
- Thể tích đang tăng với tốc độ $200\pi\approx628\ \tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$.
Giải một bài toán tỷ lệ liên quan trong năm bước: vẽ/ghi nhãn, viết một phương trình liên hệ, vi phân theo $t$, thế giá trị tại thời điểm đó chỉ sau khi đã vi phân, và giải tìm tốc độ chưa biết. Báo cáo nó với đơn vị đúng và dấu, và kiểm tra kết quả có hợp lý không.