Giới thiệu về tốc độ liên quan
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/ | tỷ lệ thay đổi liên quan |
| time/taɪm/ | thời gian |
Khi một tốc độ điều khiển tốc độ khác
- Thổi phồng bóng bay: bán kính tăng, và bởi vì vậy, thể tích cũng tăng theo.
- Hai tốc độ này liên kết với nhau — biết bán kính thay đổi nhanh thế nào sẽ cho bạn biết thể tích thay đổi nhanh thế nào.
- Các bài toán như thế này là tốc độ liên quan: nhiều đại lượng thay đổi cùng lúc theo thời gian.
- Bộ máy liên kết chúng là quy tắc chuỗi, được áp dụng theo thời gian.
Một bài toán tốc độ liên quan kết nối các tốc độ của các đại lượng thay đổi theo...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Các biến là hàm của thời gian, liên kết thông qua quy tắc chuỗi.
Bắt đầu bằng một phương trình liên hệ giữa các biến số
- Trước tiên, tìm một phương trình nối các đại lượng lại với nhau — thường là hình học hoặc một công thức.
- Bóng bay: $V=\tfrac43\pi r^3$ liên hệ giữa thể tích và bán kính.
- Thang trượt xuống tường: $x^2+y^2=L^2$ (Pythagoras) liên hệ hai khoảng cách.
- Phương trình liên hệ này đúng ở mọi thời điểm, nên ta có thể lấy đạo hàm theo thời gian.
Thể tích tăng theo bán kính
y = a·x³ (V so với r)
$V=\tfrac43\pi r^3$ leo dốc — một tốc độ bán kính nhỏ tạo ra tốc độ thể tích lớn khi $r$ lớn.
Bước đầu tiên là viết một ____ liên hệ các biến đang thay đổi.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Thường là mối quan hệ hình học hoặc vật lý.
Một thang dài $L$ dựa vào tường. Phương trình nào liên hệ khoảng cách từ chân tường $x$ và chiều cao $y$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pythagoras: tường và sàn tạo thành góc vuông, nên $x^2+y^2=L^2$.
Lấy đạo hàm theo thời gian
- Mỗi biến số ngầm phụ thuộc vào $t$, nên việc lấy đạo hàm sẽ đưa vào tốc độ của mỗi biến — thông qua quy tắc chuỗi.
- $\dfrac{d}{dt}\big[V=\tfrac43\pi r^3\big]$ dẫn đến $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- Mỗi số hạng đóng góp một thừa số "$\tfrac{d(\text{that variable})}{dt}$" — giống hệt như đạo hàm ẩn, nhưng biến ẩn ở đây là $t$.
- Bây giờ phương trình liên hệ các tốc độ $\tfrac{dV}{dt}$ và $\tfrac{dr}{dt}$.
Lấy đạo hàm $V=\tfrac43\pi r^3$ theo $t$ ta được $\dfrac{dV}{dt}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Quy tắc chuỗi theo thời gian: $4\pi r^2$ nhân với $\tfrac{dr}{dt}$.
Sắp xếp dữ liệu đã cho và chưa biết
- Đọc đề bài và gán nhãn: tốc độ nào là đã cho, và tốc độ đơn lẻ nào là muốn tìm?
- "Bán kính tăng với tốc độ $2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$" → $\tfrac{dr}{dt}=2$ là đã cho.
- "Thể tích tăng với tốc độ bao nhiêu?" → $\tfrac{dV}{dt}$ là chưa biết.
- Ngoài ra, lưu ý bất kỳ đại lượng cố định nào (như bán kính tại thời điểm yêu cầu).
Vi phân $r^3$ theo thời gian chỉ cho $3r^2$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nó cho $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — hệ số tốc độ là cần thiết.
"Bán kính tăng với tốc độ $2$ cm/s; thể tích tăng nhanh bao nhiêu?" Chọn tất cả nhãn chính xác.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tốc độ bán kính đã cho, tốc độ thể tích mong muốn, và $V=\tfrac43\pi r^3$ liên kết chúng.
Các biến liên quan đến tốc độ thay đổi là hàm số của thời gian, nên vi phân $r^3$ sẽ cho $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — không bao giờ chỉ đơn thuần là $3r^2$. Việc bỏ sót $\tfrac{dr}{dt}$ (hệ số tốc độ của quy tắc chuỗi) chính là lỗi đặc trưng. Mỗi đại lượng thay đổi đều đóng góp một $\tfrac{d(\ )}{dt}$ riêng biệt.
Thể tích bóng bay là $V=\tfrac43\pi r^3$. Thiết lập phương trình tốc độ liên quan.
- Vi phân theo $t$: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac43\pi\cdot 3r^2\cdot\dfrac{dr}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- Điều này liên hệ tốc độ tăng thể tích với tốc độ tăng bán kính.
- Với $\tfrac{dr}{dt}$ đã cho và $r$ hiện tại, ta có thể giải ra $\tfrac{dV}{dt}$ (bài học tiếp theo).
Một bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi nối các tốc độ của hai hoặc nhiều đại lượng đang thay đổi theo thời gian. Viết một phương trình liên hệ các biến (thường là hình học), vi phân phương trình đó theo $t$ bằng quy tắc chuỗi (mỗi biến nhận được một $\tfrac{d(\ )}{dt}$), và xác định những tốc độ nào đã cho trước và tốc độ nào cần tìm.