Diễn Giải Ý nghĩa của Đạo hàm Trong Bối cảnh
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | Tốc độ biến thiên |
| units/ˈjuːnɪts/ | Đơn vị |
| increasing/ɪnˈkriːsɪŋ/ | Đồng biến |
Đạo hàm là một câu nói, không chỉ là một con số
- $f'(a)=12$ không chỉ là một giá trị — trong ngữ cảnh, nó nói lên điều gì đó về thế giới thực.
- Kỹ năng của Unit 4: dịch một đạo hàm thành tốc độ thay đổi bằng tiếng Anh đơn giản với đơn vị thích hợp.
- Nếu $f$ là thể tích nước của một bể tính bằng lít và $t$ là phút, thì $f'(3)=12$ có nghĩa là "ở $3$ phút, nước đang chảy vào với tốc độ $12$ lít mỗi phút."
- Việc đọc các đạo hàm bằng lời nói được kiểm tra thường xuyên — hãy luyện tập kỹ năng dịch chuyển này.
Lượng so với tỷ lệ
y = ax² + bx + c
Chiều cao của đường cong này là lượng $f(a)$; độ dốc của nó là tỷ lệ $f'(a)$ — hai cách đọc khác nhau tại cùng một điểm input.
Đơn vị đến từ tỷ lệ
- Một đạo hàm là một tỷ lệ: đơn vị đầu ra trên đơn vị đầu vào.
- Thể tích (L) chia thời gian (min) → đạo hàm có đơn vị $\tfrac{\text{L}}{\text{min}}$.
- Nhiệt độ ($^\circ$C) chia thời gian (min) → $\tfrac{^\circ\text{C}}{\text{min}}$.
- Luôn nêu rõ đơn vị; một tốc độ mà không có đơn vị chỉ là một nửa câu trả lời.
$V(t)$ là thể tích nước tính bằng lít tại thời điểm $t$ phút. Đơn vị của $V'(t)$ là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đầu ra trên đầu vào: lít mỗi phút.
$C(x)$ là chi phí tính bằng đô la cho $x$ mặt hàng và $C'(200)=45$. Điều này có nghĩa là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đạo hàm là chi phí biên (chi phí cho mỗi mặt hàng bổ sung) gần $x=200$.
Giá trị so với Tốc độ: hai câu hỏi khác nhau
- $f(a)$ trả lời câu hỏi "bao nhiêu cái gì đó có tại đầu vào $a$?" — lượng cụ thể.
- $f'(a)$ trả lời câu hỏi "nhanh thế nào nó đang thay đổi tại đầu vào $a$?" — tốc độ.
- $f(3)=50$ L và $f'(3)=12\,\tfrac{\text{L}}{\text{min}}$ mô tả những điều khác nhau về cùng một thời điểm.
- Các đề thi thường yêu cầu bạn giải thích một trong hai và không được nhầm lẫn giữa chúng.
"Dân số đang tăng với tốc độ $200$ mỗi năm" mô tả...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tốc độ thay đổi (mỗi năm) chính là đạo hàm.
Gắn mỗi phát biểu với những gì nó mô tả.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Lượng → giá trị; tỷ lệ → đạo hàm bậc nhất; sự thay đổi của tỷ lệ → đạo hàm bậc hai.
Dấu cho biết hướng
- $f'(a)>0$: đại lượng đang tăng tại thời điểm đó.
- $f'(a)<0$: đại lượng đang giảm tại thời điểm đó.
- $f'(a)=0$: tạm thời không thay đổi (trạng thái cân bằng ngay lập tức).
- Độ lớn cho biết nhanh thế nào; dấu cho biết hướng nào.
Nếu $f'(a)<0$, lượng đang giảm tại điểm input $a$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đạo hàm âm có nghĩa là lượng đang giảm.
Đạo hàm dương tại $a$ có nghĩa là lượng đang ____ tại đó.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tỷ lệ dương → tăng.
Đừng nhầm lẫn giữa giá trị hàm số và đạo hàm. "Dân số là $8000$" là $f(a)$; "dân số đang tăng với tốc độ $200$ mỗi năm" là $f'(a)$. Một câu hỏi yêu cầu tốc độ muốn tìm $f'$, với đơn vị là (dân số)/(năm) — chứ không phải bản thân dân số.
$C(x)$ là chi phí (tính bằng đô la) để sản xuất $x$ điện thoại, và $C'(200)=45$.
- Đơn vị: đô la trên điện thoại, tức là $\tfrac{\$}{\text{phone}}$.
- Ý nghĩa: khi $200$ điện thoại đã được sản xuất, chi phí đang tăng khoảng $\$45$ cho mỗi chiếc điện thoại bổ sung.
- Khái niệm "chi phí cho mỗi đơn vị thêm" này chính xác là ý tưởng kinh tế học về chi phí biên.
Trong ngữ cảnh, $f'(a)$ là một tốc độ thay đổi với đơn vị đầu ra trên đầu vào — hãy phát biểu nó thành một câu đầy đủ với đơn vị. Nó trả lời câu hỏi "nhanh thế nào", phân biệt với "bao nhiêu" của $f(a)$. Một đạo hàm dương có nghĩa là đại lượng đang tăng; âm có nghĩa là giảm.