Tính Đạo hàm Bậc cao
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | Đạo hàm cấp hai |
| higher-order derivatives/ˈhaɪə ˈɔːdə dɪˈrɪvətɪvz/ | Đạo hàm bậc cao |
| acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/ | gia tốc |
Đạo hàm của đạo hàm
- Không có gì ngăn cản bạn đạo hàm $f'$ một lần nữa. Kết quả là đạo hàm cấp hai $f''$.
- Tiếp tục quá trình này, bạn sẽ thu được đạo hàm cấp cao hơn: $f'''$, $f^{(4)}$, v.v.
- Mỗi đạo hàm đo lường tốc độ thay đổi của đạo hàm ngay trước nó.
- Đạo hàm cấp hai là ngôi sao: nó mô tả cách bản thân độ dốc đang thay đổi.
Một đa thức bậc ba và các độ dốc của nó
y = ax³ + bx
$f'$ của đa thức bậc ba là một parabol và $f''$ là một đường thẳng — mỗi đạo hàm đều giảm đi một bậc.
Chỉ cần lặp lại quy trình
- Tìm $f'$ bằng bất kỳ quy tắc nào bạn cần, sau đó đạo hàm nó để thu được $f''$.
- $f(x)=x^4 \Rightarrow f'(x)=4x^3 \Rightarrow f''(x)=12x^2 \Rightarrow f'''(x)=24x$.
- Mỗi bước đều là một đạo hàm bình thường — không có kỹ thuật mới, chỉ là áp dụng lại.
- Rút gọn $f'$ trước khi đạo hàm thêm; điều này giữ cho phần đại số gọn gàng.
Đối với $f(x)=x^4$, thì $f'(x)$ là gì?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'=4x^3$, sau đó $f''=12x^2$.
Đối với $f(x)=x^3-2x^2+5x$, $f'(x)=6x-4$. Tìm $f'(2)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'(2)=6(2)-4=8$.
Đối với $f(x)=x^3-2x^2+5x$, chọn tất cả đạo hàm đúng.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Lấy đạo hàm từng bước; phương án thứ tư là một sự rút gọn sai.
Ký hiệu cho các đạo hàm cấp cao
- Ký hiệu dấu nháy: $f''(x)$, $f'''(x)$, sau đó là $f^{(4)}(x)$ (các số lớn hơn ba dấu nháy).
- Ký hiệu Leibniz: $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ cho đạo hàm bậc hai, $\dfrac{d^3y}{dx^3}$ cho đạo hàm bậc ba.
- Đọc $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ là "d-squared-y d-x-squared" — nó có nghĩa là "lấy đạo hàm $y$ hai lần."
- Hai ký hiệu này có ý nghĩa hoàn toàn giống nhau.
Trong ký hiệu Leibniz, đạo hàm bậc hai của $y$ được viết là $\dfrac{d^2 y}{dx^{\square}}$. Số mũ $\square$ là ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\dfrac{d^2y}{dx^2}$.
Đạo hàm bậc hai có ý nghĩa gì
- $f'$ là tốc độ thay đổi của $f$; $f''$ là tốc độ thay đổi của $f'$.
- Nếu $f$ là vị trí, thì $f'$ là vận tốc và $f''$ là gia tốc — mức độ thay đổi nhanh hay chậm của vận tốc.
- Dấu của $f''$ cho biết về độ lồi lõm (uốn lên hay xuống), sẽ được tìm hiểu trong Unit 5.
- Vì vậy, các đạo hàm cấp cao không phải là công việc nhàm chán — $f''$ mang ý nghĩa vật lý thực sự.
Đạo hàm bậc hai $f'$ bằng $(f')^2$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'$ là đạo hàm của $f'$, không phải bình phương của nó.
Nếu $f$ là vị trí, thì đạo hàm bậc hai $f'$ biểu thị...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'=$ vận tốc, $f''=$ gia tốc.
$f''$ là đạo hàm của $f'$, không phải bình phương của $f'$: $f''\neq(f')^2$. Và áp dụng các quy tắc chuỗi/tích/thương lại ở mỗi bước — lấy đạo hàm $f'=\sin(x^2)$ để thu được $f''$ vẫn cần quy tắc chuỗi. Đừng bỏ qua các quy tắc chỉ vì bạn đang ở vòng tính toán thứ hai.
Tìm $f''(x)$ cho $f(x)=x^3-2x^2+5x$.
- Đạo hàm bậc nhất: $f'(x)=3x^2-4x+5$.
- Lấy đạo hàm một lần nữa: $f''(x)=6x-4$.
- (Thêm một lần nữa: $f'''(x)=6$, và $f^{(4)}(x)=0$.)
Một đạo hàm cấp cao được tìm bằng cách lấy đạo hàm liên tiếp: $f''$ là đạo hàm của $f'$, và cứ thế tiếp diễn. Viết chúng dưới dạng $f''(x)$ / $\frac{d^2y}{dx^2}$, v.v. Đạo hàm bậc hai là tốc độ thay đổi của đạo hàm bậc nhất (ví dụ: gia tốc), và dấu của nó sẽ mô tả độ lồi lõm. Continue áp dụng các quy tắc chuỗi/tích/thương tại mọi giai đoạn.