Vi phân hàm lượng giác nghịch đảo
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ | Hàm lượng giác nghịch đảo |
Đạo hàm ẩn căn bậc hai
- Các hàm lượng giác nghịch đảo — $\arcsin$, $\arctan$, và những hàm liên quan — hoàn tác lại sine, tangent, v.v.
- Đạo hàm của chúng đáng ngạc nhiên là biểu thức đại số: hoàn toàn không còn lượng giác, chỉ còn lũy thừa và căn.
- Hai hàm cần ghi nhớ ngay; các hàm còn lại tuân theo cùng quy luật.
- Các hàm lượng giác nghịch đảo này xuất hiện trong tích phân sau này, nên việc thuộc đạo hàm của chúng sẽ mang lại lợi ích gấp đôi.
Hai hàm bạn bắt buộc phải biết
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]=\dfrac{1}{1+x^2}$.
- Lưu ý: $\arcsin$ có một căn ở mẫu số; $\arctan$ có một lũy thừa $1+x^2$ gọn gàng.
- Cả hai luôn dương trên tập xác định — các hàm nghịch đảo này đồng biến.
Độ dốc nhẹ nhàng của arctangent
y = a·tanh(bx) (hình dạng giống arctan)
$\arctan x$ tăng nhanh nhất tại $0$ (độ dốc $1$) và dần bằng phẳng — đạo hàm $\tfrac{1}{1+x^2}$ giảm dần về $0$.
$\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$ là gì?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\arcsin$ có dạng nghiệm là $\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
$\dfrac{d}{dx}[\arctan x]$ là gì?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\arctan$ có dạng gọn gàng là $\tfrac{1}{1+x^2}$ (không có căn).
Phần còn lại của họ hàng
- $\dfrac{d}{dx}[\arccos x]=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ — giống hệt $\arcsin$ nhưng dấu âm.
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arccot}\,x]=-\dfrac{1}{1+x^2}$ — dấu âm của $\arctan$'s.
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arcsec}\,x]=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$.
- Các hàm nghịch đảo "co-" mang dấu trừ, echoes pattern lượng giác thông thường.
$\dfrac{d}{dx}[\arccos x]$ là ____ của $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$ (cùng độ lớn, trái dấu).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\arccos$ mang dấu trừ.
Chọn tất cả đạo hàm của hàm lượng giác nghịch đảo chứa căn bậc hai.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\arcsin$, $\arccos$, và arcsec có căn; $\arctan$ là $\tfrac{1}{1+x^2}$ không có căn.
Áp dụng quy tắc chuỗi
- Với quy tắc chuỗi, thay thế $x$ bằng một hàm bên trong $u$ và nhân với $u'$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+(3x)^2}\cdot 3=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin(x^2)]=\dfrac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\cdot 2x=\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$.
- Quy trình giống như bất kỳ bài toán quy tắc chuỗi nào: công thức ngoài, sau đó là $\times\,u'$.
Đối với $y=\arctan(3x)$, $y'=\dfrac{3}{1+9x^2}$. Tìm $y'$ tại $x=0$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tại $x=0$: $\tfrac{3}{1+0}=3$.
$\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+9x^2}$ (không có thừa số bên trong).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Quy tắc chuỗi thêm đạo hàm bên trong $3$: $\tfrac{3}{1+9x^2}$.
Đừng nhầm lẫn hai dạng đồ thị: $\arcsin$ tạo ra $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ (một căn), trong khi $\arctan$ tạo ra $\frac{1}{1+x^2}$ (không có căn). Và với quy tắc chuỗi, đừng bao giờ bỏ sót đạo hàm bên trong: $\frac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\frac{3}{1+9x^2}$, chứ không phải $\frac{1}{1+9x^2}$.
Vi phân $y=\arctan(x^2)$.
- Ngoại vi: $\arctan(u)$ với $u=x^2$, tạo ra $\dfrac{1}{1+u^2}$.
- Đạo hàm bên trong: $u'=2x$.
- $y'=\dfrac{1}{1+(x^2)^2}\cdot 2x=\dfrac{2x}{1+x^4}$.
Ghi nhớ $\frac{d}{dx}[\arcsin x]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ và $\frac{d}{dx}[\arctan x]=\frac{1}{1+x^2}$. Các hàm nghịch đảo "co-" ($\arccos$, arccot) mang một dấu trừ. Đối với các hàm lượng giác nghịch đảo hợp, áp dụng quy tắc chuỗi — công thức chuẩn nhân với đạo hàm bên trong $u'$.