Vi phân hàm nghịch đảo
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | Hàm nghịch đảo |
| reciprocals/rɪˈsɪprəklz/ | Số nghịch đảo |
Độ dốc của hàm và ảnh phản chiếu của nó
- Một hàm ngược $f^{-1}$ undo $f$: nó phản xạ đồ thị qua đường thẳng $y=x$.
- Phép phản xạ hoán đổi vai trò của rise và run — do đó nó lật ngược độ dốc.
- Điều đó tạo ra một cách tắt gọn gàng: bạn có thể tìm đạo hàm của hàm ngược từ đạo hàm của hàm gốc.
- Điều tốt nhất là, bạn thường không cần đến công thức cho $f^{-1}$ hoàn toàn.
Quy tắc tỷ số nghịch đảo
- Tại các điểm tương ứng, độ dốc của $f$ và $f^{-1}$ là tỷ số nghịch đảo.
-
$$\big(f^{-1}\big)'(x)=\frac{1}{f'\!\big(f^{-1}(x)\big)}$$
- Đọc nó như sau: độ dốc của hàm ngược tại $x$ là $1$ chia cho độ dốc của $f$ tại đầu vào tương ứng.
- Đầu vào tương ứng là $f^{-1}(x)$ — điểm trên $f$ ánh xạ đến $x$.
Đạo hàm của hàm nghịch đảo là $\big(f^{-1}\big)'(x)=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nghịch đảo của đạo hàm gốc tại điểm tương ứng $f^{-1}(x)$.
Tính giá trị mà không cần tìm hàm ngược
- Thường thì bạn chỉ cần đạo hàm tại một điểm, và có thể bỏ qua việc tìm $f^{-1}$.
- Giả sử $f(2)=5$ và $f'(2)=3$. Khi đó điểm $(5,2)$ nằm trên $f^{-1}$, nên $f^{-1}(5)=2$.
- Áp dụng quy tắc: $\big(f^{-1}\big)'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.
- Bạn chưa bao giờ cần đến công thức — chỉ cần cặp tương ứng và một giá trị đạo hàm.
Nếu biết $f(2)=5$ và $f'(2)=4$, hãy tìm $\big(f^{-1}\big)'(5)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f^{-1}(5)=2$, do đó $\big(f^{-1}\big)'(5)=\tfrac{1}{f'(2)}=\tfrac14$.
Để tính $\big(f^{-1}\big)'(c)$ tại một điểm, bạn cần gì?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Bạn cần cặp đầu vào và $f'$ tương ứng ở đó (khác không, nên nghịch đảo tồn tại) — không cần công thức nghịch đảo đầy đủ.
Tại sao là tỷ số nghịch đảo? Hãy xem phép phản xạ
- Phản xạ qua $y=x$ biến "độ dốc $3$ trên độ ngang $1$" thành "độ dốc $1$ trên độ ngang $3$."
- Vì vậy, độ dốc $3$ trở thành độ dốc $\tfrac13$ — thực sự bị lật ngược.
- Đây là lý do tại sao $f$ và $f^{-1}$ có độ dốc nghịch đảo tại các điểm tương ứng.
- (Nó cũng cảnh báo bạn: nếu $f'=0$ tại một điểm, hàm nghịch đảo có tiếp tuyến đứng tại đó — độ dốc của nó không xác định.)
Một độ dốc và nghịch đảo của nó
y = x³ + 1
Phản xạ đường cong qua $y=x$ sẽ đảo ngược chiều cao và chiều ngang — độ dốc $3$ sẽ trở thành $\tfrac13$ trên hàm nghịch đảo.
Để tìm $\big(f^{-1}\big)'(5)$, bạn cần tính $f'$ tại $5$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Bạn tính $f'$ tại điểm tương ứng $f^{-1}(5)$, không phải tại $5$.
Tại các điểm tương ứng, độ dốc của $f$ và $f^{-1}$ là ____ nhau.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Phản xạ qua $y=x$ sẽ đảo ngược độ dốc.
Nếu $f'(a)=0$ tại điểm tương ứng, thì hàm nghịch đảo tại điểm tương ứng có...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Chia cho $0$ là không xác định — tiếp tuyến phản xạ là đường thẳng đứng.
Sử dụng đạo hàm của $f$ tại đầu vào tương ứng $f^{-1}(x)$, chứ không phải tại chính $x$. Đối với $\big(f^{-1}\big)'(5)$, bạn cần $f'$ tại đầu vào ánh xạ tới $5$, tức là $f'(f^{-1}(5))$, chứ không phải $f'(5)$. Thay trực tiếp $5$ vào $f'$ là lỗi điển hình.
$f(x)=x^3+1$ có $f(1)=2$ và $f'(x)=3x^2$. Tìm $\big(f^{-1}\big)'(2)$.
- Đầu vào tương ứng: $f^{-1}(2)=1$ (vì $f(1)=2$).
- $f'(1)=3(1)^2=3$.
- $\big(f^{-1}\big)'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{3}$.
Đạo hàm của hàm nghịch đảo là nghịch đảo của đạo hàm gốc tại điểm tương ứng: $\big(f^{-1}\big)'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Phản xạ qua $y=x$ hoán đổi độ dốc và độ ngang, lật ngược độ dốc. Bạn có thể tính toán tại một điểm chỉ bằng một cặp tương ứng — không cần công thức cho $f^{-1}$.